O que é Aproximações da identidade? — Matemática

Definição 12.8 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 12 — Os espaços Lp

A função

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

com $c$ normalizando $\int\rho = 1$ , é $\mathcal C^\infty$ em $\R^d$ : o ponto é que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ é $\mathcal C^\infty$ em $\R$ , com todas as derivadas em $0^+$ iguais a $0$ (cada derivada é $P(1/t)\eu^{-1/t}$ para um polinômio $P$ , e isso tende a $0$ ; indução). Para $\varepsilon > 0$ , ponha $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : com suporte em $\bar B(0, \varepsilon)$ e ainda de integral $1$ .

Exemplos

Exemplo 12.10 (Regularizando $\abs x$ , com taxas)

Tome $f(x) = \abs x$ em $\R$ (localmente $L^1$ ; o teorema se aplica em toda janela limitada) e uma aproximação da identidade simétrica $\rho_\varepsilon$ . Então

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

é $\mathcal C^\infty$ ; longe do bico, nada acontece: para $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ é linear em $x$ no suporte de $\rho_\varepsilon$ , de modo que $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exatamente (a simetria mata a correção). Perto de $0$ , a suavização custa precisamente

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

o erro de aproximação fica confinado à vizinhança de raio $\varepsilon$ da singularidade e é da ordem dela. Enquanto isso, $f_\varepsilon'' \geq 0$ em toda parte ( $f$ é convexa, e a convolução com $\rho_\varepsilon \geq 0$ preserva a convexidade), com $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : a segunda derivada é uma onda de massa $2$ espremida em largura $O(\varepsilon)$ , de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Suavizar é uma troca: erro uniforme $O(\varepsilon)$ contra explosão da derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — exatamente a taxa de câmbio que a análise quantitativa (desigualdades de interpolação, o círculo de ideias do Problema 12.1) formaliza.

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