Wat is Mollifiers?

Voorbeeld 12.10 ($\abs x$ gladstrijken, met snelheden)

Neem $f(x) = \abs x$ op $\R$ (lokaal $L^1$; de stelling is op elk begrensd venster van toepassing) en een symmetrische mollifier $\rho_\varepsilon$. Dan is

$\mathcal C^\infty$; ver van de knik gebeurt er niets: voor $\abs x \geq \varepsilon$ is $\abs{x - y}$ lineair in $x$ op de drager van $\rho_\varepsilon$, zodat $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exact (de symmetrie doodt de correctie). Nabij $0$ kost het gladstrijken precies

de benaderingsfout blijft opgesloten in de $\varepsilon$-omgeving van de singulariteit en is van haar grootte. Ondertussen is $f_\varepsilon'' \geq 0$ overal ($f$ is convex, en convolutie tegen $\rho_\varepsilon \geq 0$ behoudt de convexiteit), met $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: de tweede afgeleide is een bult van massa $2$ geperst in een breedte $O(\varepsilon)$, dus $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. Gladstrijken is een ruil: uniforme fout $O(\varepsilon)$ tegen explosie van de afgeleide $O(\varepsilon^{-1})$ — precies de wisselkoers die de kwantitatieve analyse (interpolatieongelijkheden, de ideeënkring van Probleem 12.1) formaliseert.