Wat is Mollifiers? — Wiskunde

Definitie 12.8 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 12 — De ruimten Lp

De functie

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

met $c$ zo genormeerd dat $\int\rho = 1$ , is $\mathcal C^\infty$ op $\R^d$ : de kern van de zaak is dat $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ $\mathcal C^\infty$ is op $\R$ , met alle afgeleiden in $0^+$ gelijk aan $0$ (elke afgeleide is $P(1/t)\eu^{-1/t}$ voor een veelterm $P$ , en dat gaat naar $0$ ; inductie). Voor $\varepsilon > 0$ stellen we $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : met drager in $\bar B(0, \varepsilon)$ en nog steeds integraal $1$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 12.10 ( $\abs x$ gladstrijken, met snelheden)

Neem $f(x) = \abs x$ op $\R$ (lokaal $L^1$ ; de stelling is op elk begrensd venster van toepassing) en een symmetrische mollifier $\rho_\varepsilon$ . Dan is

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

$\mathcal C^\infty$ ; ver van de knik gebeurt er niets: voor $\abs x \geq \varepsilon$ is $\abs{x - y}$ lineair in $x$ op de drager van $\rho_\varepsilon$ , zodat $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exact (de symmetrie doodt de correctie). Nabij $0$ kost het gladstrijken precies

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

de benaderingsfout blijft opgesloten in de $\varepsilon$ -omgeving van de singulariteit en is van haar grootte. Ondertussen is $f_\varepsilon'' \geq 0$ overal ( $f$ is convex, en convolutie tegen $\rho_\varepsilon \geq 0$ behoudt de convexiteit), met $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : de tweede afgeleide is een bult van massa $2$ geperst in een breedte $O(\varepsilon)$ , dus $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Gladstrijken is een ruil: uniforme fout $O(\varepsilon)$ tegen explosie van de afgeleide $O(\varepsilon^{-1})$ — precies de wisselkoers die de kwantitatieve analyse (interpolatieongelijkheden, de ideeënkring van Probleem 12.1) formaliseert.

Lees in het hoofdstuk →