Qu'est-ce que « Mollificateurs » ?

Exemple 12.10 (Mollifier $\abs x$, avec vitesses)

Prendre $f(x) = \abs x$ sur $\R$ (localement $L^1$ ; le théorème s’applique sur toute fenêtre bornée) et un mollificateur symétrique $\rho_\varepsilon$. Alors

est $\mathcal C^\infty$ ; loin du coin, rien ne se passe : pour $\abs x \geq \varepsilon$, $\abs{x - y}$ est linéaire en $x$ sur le support de $\rho_\varepsilon$, donc $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactement (la symétrie tue la correction). Près de $0$, le lissage coûte précisément

l’erreur d’approximation est confinée au $\varepsilon$-voisinage de la singularité et est de sa taille. Par ailleurs $f_\varepsilon'' \geq 0$ partout ($f$ est convexe, et la convolution contre $\rho_\varepsilon \geq 0$ préserve la convexité), avec $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la dérivée seconde est une bosse de masse $2$ pressée dans une largeur $O(\varepsilon)$, donc $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. Lisser est un échange : erreur uniforme $O(\varepsilon)$ contre explosion des dérivées $O(\varepsilon^{-1})$ — le taux d’échange exact que l’analyse quantitative (inégalités d’interpolation, le cercle d’idées du Problème 12.1) formalise.