Qu'est-ce que « Mollificateurs » ? — Mathématiques

Définition 12.8 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 12 — Les espaces Lp

La fonction

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

avec $c$ normalisant $\int\rho = 1$ , est $\mathcal C^\infty$ sur $\R^d$ : le point est que $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ est $\mathcal C^\infty$ sur $\R$ , toutes ses dérivées en $0^+$ étant $0$ (chaque dérivée est $P(1/t)\eu^{-1/t}$ pour un polynôme $P$ , qui tend vers $0$ ; induction). Pour $\varepsilon > 0$ poser $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : supportée dans $\bar B(0, \varepsilon)$ , encore d’intégrale $1$ .

Exemples

Exemple 12.10 (Mollifier $\abs x$ , avec vitesses)

Prendre $f(x) = \abs x$ sur $\R$ (localement $L^1$ ; le théorème s’applique sur toute fenêtre bornée) et un mollificateur symétrique $\rho_\varepsilon$ . Alors

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

est $\mathcal C^\infty$ ; loin du coin, rien ne se passe : pour $\abs x \geq \varepsilon$ , $\abs{x - y}$ est linéaire en $x$ sur le support de $\rho_\varepsilon$ , donc $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exactement (la symétrie tue la correction). Près de $0$ , le lissage coûte précisément

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

l’erreur d’approximation est confinée au $\varepsilon$ -voisinage de la singularité et est de sa taille. Par ailleurs $f_\varepsilon'' \geq 0$ partout ( $f$ est convexe, et la convolution contre $\rho_\varepsilon \geq 0$ préserve la convexité), avec $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : la dérivée seconde est une bosse de masse $2$ pressée dans une largeur $O(\varepsilon)$ , donc $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . Lisser est un échange : erreur uniforme $O(\varepsilon)$ contre explosion des dérivées $O(\varepsilon^{-1})$ — le taux d’échange exact que l’analyse quantitative (inégalités d’interpolation, le cercle d’idées du Problème 12.1) formalise.

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