Apa itu Pernyataan, perangkai? — Matematika

Definisi 1.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 1 — Logika, Himpunan dan Pemetaan

Sebuah pernyataan (atau proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar (B) atau salah (S) — tepat satu di antara keduanya. Dari pernyataan $P$ dan $Q$ dibentuk:

negasi $\lnot P$ (“bukan $P$ ”), benar tepat ketika $P$ salah;
konjungsi $P \land Q$ (“ $P$ dan $Q$ ”), benar tepat ketika keduanya benar;
disjungsi $P \lor Q$ (“ $P$ atau $Q$ ”), benar tepat ketika sekurang-kurangnya satu benar (“atau” di sini bersifat inklusif);
implikasi $P \implies Q$ , salah tepat ketika $P$ benar dan $Q$ salah;
ekuivalensi $P \iff Q$ , benar tepat ketika $P$ dan $Q$ mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Contoh

Contoh 1.6 (Menegasikan kalimat matematis sehari-hari)

Misalkan $f \colon \R \to \R$ . Kalimat “ $f$ naik” berbunyi

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

dan negasinya, menurut Proposisi 1.5 beserta kaidah $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ :

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ dan }\ f(x) > f(y) :

satu pasang saksi sudah cukup. Demikian pula “ $f$ terbatas” berarti $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , dengan negasi

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

berapa pun batas yang diajukan, ada titik yang melampauinya. Inti gagasannya: negasi yang benar tidak pernah memuat “bukan” yang dikenakan pada blok berkuantor — ia adalah pernyataan positif yang baru, dengan peran yang bertukar: kini kita yang menghasilkan saksi, padahal tadinya kita yang menerimanya.

Contoh 1.7 (Urutan kuantor)

Urutan kuantor yang berlainan jenis itu penting:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{benar (ambil } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{salah (tak ada bilangan real yang melampaui semua bilangan real).}

Pada pernyataan pertama $y$ boleh bergantung pada $x$ ; pada yang kedua, satu $y$ harus berlaku untuk semua $x$ . Sebaliknya, dua kuantor yang sejenis selalu dapat dipertukarkan.

Contoh 1.13 (Membuktikan keberadaan yang tunggal)

Pernyataan $\exists!\,x,\ P(x)$ sesungguhnya dua pernyataan, yang dibuktikan terpisah: keberadaan (tunjukkan atau bangun suatu $x_0$ dengan $P(x_0)$ ) dan ketunggalan (andaikan $P(x)$ dan $P(x')$ , simpulkan $x = x'$ ). Contoh: ada tepat satu bilangan real $x$ dengan $x^3 + x = 2$ . Keberadaan: $x_0 = 1$ memenuhi, karena $1 + 1 = 2$ . Ketunggalan: jika $x^3 + x = x'^3 + x'$ , maka

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

dan faktor keduanya bernilai positif (ia sama dengan $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ ), sehingga $x = x'$ . Perhatikan pembagian tugasnya: keberadaan memakai tebakan yang beruntung, ketunggalan memakai aljabar yang berlaku untuk penyelesaian sembarang — tak satu pun di antara kedua argumen itu mengerjakan tugas yang lain, dan melupakan paruh kedua adalah godaan yang selalu hadir begitu sebuah penyelesaian ditemukan.

Baca dalam konteks →