¿Qué es Enunciado, conectivos? — Matemáticas

Definición 1.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 1 — Lógica, conjuntos y aplicaciones

Un enunciado (o proposición) es una frase que es verdadera (V) o falsa (F) — exactamente una de las dos. A partir de dos enunciados $P$ y $Q$ se forman:

la negación $\lnot P$ («no $P$ »), verdadera exactamente cuando $P$ es falsa;
la conjunción $P \land Q$ (« $P$ y $Q$ »), verdadera exactamente cuando ambas lo son;
la disyunción $P \lor Q$ (« $P$ o $Q$ »), verdadera exactamente cuando al menos una lo es (este «o» es inclusivo);
la implicación $P \implies Q$ , falsa exactamente cuando $P$ es verdadera y $Q$ falsa;
la equivalencia $P \iff Q$ , verdadera exactamente cuando $P$ y $Q$ tienen el mismo valor de verdad.

Ejemplos

Ejemplo 1.6 (Negar frases matemáticas de todos los días)

Sea $f \colon \R \to \R$ . La frase « $f$ es creciente» se escribe

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

y su negación, por la Proposición 1.5 junto con la regla $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ :

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ y }\ f(x) > f(y) :

basta con un par que lo atestigüe. Del mismo modo, « $f$ está acotada» es $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , con negación

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

sea cual sea la cota propuesta, algún punto la supera. La idea clave: una negación correcta nunca contiene un «no» aplicado a un bloque cuantificado — es un nuevo enunciado positivo en el que los papeles se intercambian: ahora uno produce los testigos que antes recibía.

Ejemplo 1.7 (Orden de los cuantificadores)

El orden de dos cuantificadores distintos importa:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{es verdadera (tómese } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{es falsa (ningún real supera a todos los reales).}

En el primer enunciado, $y$ puede depender de $x$ ; en el segundo, un único $y$ debe servir para todo $x$ . Dos cuantificadores iguales, en cambio, siempre conmutan.

Ejemplo 1.13 (Demostrar existencia y unicidad)

Un enunciado $\exists!\,x,\ P(x)$ son dos enunciados, que se demuestran por separado: la existencia (exhibir o construir algún $x_0$ con $P(x_0)$ ) y la unicidad (suponer $P(x)$ y $P(x')$ y deducir $x = x'$ ). Muestra: existe un único real $x$ tal que $x^3 + x = 2$ . Existencia: $x_0 = 1$ sirve, pues $1 + 1 = 2$ . Unicidad: si $x^3 + x = x'^3 + x'$ , entonces

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

y el segundo factor es positivo (vale $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ ), luego $x = x'$ . Obsérvese el reparto del trabajo: la existencia se apoyó en una conjetura afortunada; la unicidad, en un cálculo algebraico válido para soluciones arbitrarias — ninguno de los dos argumentos hace el trabajo del otro, y olvidar la segunda mitad es una tentación constante en cuanto se ha encontrado una solución.

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