Qu'est-ce que « Assertion, connecteurs » ? — Mathématiques

Définition 1.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 1 — Logique, ensembles et applications

Une assertion (ou proposition) est une phrase qui est soit vraie (V), soit fausse (F) — exactement l’une des deux. À partir de deux assertions $P$ et $Q$ , on forme :

la négation $\lnot P$ (« non $P$ »), vraie exactement quand $P$ est fausse ;
la conjonction $P \land Q$ (« $P$ et $Q$ »), vraie exactement quand les deux sont vraies ;
la disjonction $P \lor Q$ (« $P$ ou $Q$ »), vraie exactement quand l’une au moins est vraie (ce « ou » est inclusif) ;
l’implication $P \implies Q$ , fausse exactement quand $P$ est vraie et $Q$ fausse ;
l’équivalence $P \iff Q$ , vraie exactement quand $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

Exemples

Exemple 1.6 (Nier des phrases mathématiques courantes)

Soit $f \colon \R \to \R$ . La phrase « $f$ est croissante » s’écrit

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

et sa négation, d’après la Proposition 1.5 et la règle $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ :

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ et }\ f(x) > f(y) :

un seul couple témoin suffit. De même, « $f$ est bornée » s’écrit $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , de négation

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

quelle que soit la borne proposée, un point la dépasse. L’idée à retenir : une négation correcte ne contient jamais de « non » appliqué à un bloc quantifié — c’est une nouvelle assertion positive, dans laquelle les rôles sont échangés : on produit désormais les témoins qu’on recevait auparavant.

Exemple 1.7 (Ordre des quantificateurs)

L’ordre de deux quantificateurs différents compte :

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{est vraie (prendre } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{est fausse (aucun réel ne dépasse tous les réels).}

Dans la première assertion, $y$ peut dépendre de $x$ ; dans la seconde, un seul et même $y$ doit convenir pour tous les $x$ . Deux quantificateurs identiques, en revanche, commutent toujours.

Exemple 1.13 (Démontrer une existence et unicité)

Une assertion $\exists!\,x,\ P(x)$ est deux assertions, démontrées séparément : l’existence (exhiber ou construire un $x_0$ tel que $P(x_0)$ ) et l’unicité (supposer $P(x)$ et $P(x')$ , en déduire $x = x'$ ). Exemple : il existe un unique réel $x$ tel que $x^3 + x = 2$ . Existence : $x_0 = 1$ convient, puisque $1 + 1 = 2$ . Unicité : si $x^3 + x = x'^3 + x'$ , alors

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

et le second facteur est strictement positif (il vaut $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ ), donc $x = x'$ . Remarquons le partage des tâches : l’existence a reposé sur une intuition heureuse, l’unicité sur une algèbre valable pour des solutions quelconques — aucun des deux arguments ne fait le travail de l’autre, et oublier la seconde moitié est une tentation permanente une fois qu’une solution a été trouvée.

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