O que é Proposição, conectivos? — Matemática

Definição 1.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 1 — Lógica, Conjuntos e Aplicações

Uma proposição (ou sentença) é uma frase que é verdadeira (V) ou falsa (F) — exatamente uma das duas. A partir de proposições $P$ e $Q$ formam-se:

a negação $\lnot P$ (“não $P$ ”), verdadeira exatamente quando $P$ é falsa;
a conjunção $P \land Q$ (“ $P$ e $Q$ ”), verdadeira exatamente quando ambas são verdadeiras;
a disjunção $P \lor Q$ (“ $P$ ou $Q$ ”), verdadeira exatamente quando ao menos uma é verdadeira (este “ou” é inclusivo);
a implicação $P \implies Q$ , falsa exatamente quando $P$ é verdadeira e $Q$ é falsa;
a equivalência $P \iff Q$ , verdadeira exatamente quando $P$ e $Q$ têm o mesmo valor de verdade.

Exemplos

Exemplo 1.6 (Negando frases matemáticas do dia a dia)

Seja $f \colon \R \to \R$ . A frase “ $f$ é crescente” se escreve

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

e sua negação, pela Proposição 1.5 junto com a regra $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ :

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ e}\ f(x) > f(y) :

basta um único par que a testemunhe. Do mesmo modo, “ $f$ é limitada” é $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , com negação

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

qualquer que seja a cota proposta, algum ponto a supera. A ideia: uma negação correta nunca contém “não” aplicado a um bloco quantificado — ela é uma nova proposição afirmativa, na qual os papéis se invertem: agora produzimos as testemunhas que antes recebíamos.

Exemplo 1.7 (Ordem dos quantificadores)

A ordem de quantificadores distintos importa:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{é verdadeira (tome} y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{é falsa (nenhum número real supera todos os reais).}

Na primeira proposição $y$ pode depender de $x$ ; na segunda, um único $y$ deve servir para todo $x$ . Já dois quantificadores iguais, esses sempre comutam.

Exemplo 1.13 (Demonstrando existência e unicidade)

Uma proposição $\exists!\,x,\ P(x)$ são duas proposições, demonstradas separadamente: a existência (exibir ou construir algum $x_0$ com $P(x_0)$ ) e a unicidade (supor $P(x)$ e $P(x')$ , deduzir $x = x'$ ). Exemplo: existe um único real $x$ com $x^3 + x = 2$ . Existência: $x_0 = 1$ serve, pois $1 + 1 = 2$ . Unicidade: se $x^3 + x = x'^3 + x'$ , então

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

e o segundo fator é positivo (vale $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ ), logo $x = x'$ . Note a divisão de trabalho: a existência apoiou-se num palpite feliz, a unicidade em álgebra válida para soluções arbitrárias — nenhum dos dois argumentos faz o trabalho do outro, e esquecer a segunda metade é uma tentação permanente depois que uma solução foi encontrada.

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