Wat is Uitspraak, connectieven? — Wiskunde

Definitie 1.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 1 — Logica, verzamelingen en afbeeldingen

Een uitspraak (of propositie) is een zin die waar (W) of onwaar (O) is — precies één van beide. Uit twee uitspraken $P$ en $Q$ vormen we:

de negatie $\lnot P$ (“niet $P$ ”), waar precies wanneer $P$ onwaar is;
de conjunctie $P \land Q$ (“ $P$ en $Q$ ”), waar precies wanneer beide waar zijn;
de disjunctie $P \lor Q$ (“ $P$ of $Q$ ”), waar precies wanneer minstens één van beide waar is (deze “of” is inclusief);
de implicatie $P \implies Q$ , onwaar precies wanneer $P$ waar is en $Q$ onwaar;
de equivalentie $P \iff Q$ , waar precies wanneer $P$ en $Q$ dezelfde waarheidswaarde hebben.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.6 (Alledaagse wiskundige zinnen ontkennen)

Zij $f \colon \R \to \R$ . De zin “ $f$ is stijgend” luidt

\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

en haar negatie is, volgens Propositie 1.5 samen met de regel $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$ :

\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ en }\ f(x) > f(y) :

één getuigend paar volstaat. Evenzo is “ $f$ is begrensd” de uitspraak $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$ , met negatie

\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

welke grens ook wordt voorgesteld, er is een punt dat haar overtreft. Het inzicht: een correcte negatie bevat nooit een “niet” vóór een blok kwantoren — ze is een nieuwe, positieve uitspraak waarin de rollen omgedraaid zijn: je levert nu de getuigen die je eerst kreeg aangereikt.

Voorbeeld 1.7 (Volgorde van de kwantoren)

De volgorde van verschillende kwantoren doet ertoe:

\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{is waar (neem } y = x+1\text{),}

\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{is onwaar (geen reëel getal overtreft alle reële getallen).}

In de eerste uitspraak mag $y$ van $x$ afhangen; in de tweede moet één enkele $y$ het voor alle $x$ doen. Twee gelijke kwantoren mogen daarentegen altijd van plaats wisselen.

Voorbeeld 1.13 (Uniek bestaan bewijzen)

Een uitspraak $\exists!\,x,\ P(x)$ bestaat uit twee uitspraken, die apart bewezen worden: het bestaan (wijs een $x_0$ met $P(x_0)$ aan of construeer er een) en de uniciteit (neem $P(x)$ en $P(x')$ aan en leid $x = x'$ af). Een voorbeeld: er is precies één reëel getal $x$ met $x^3 + x = 2$ . Bestaan: $x_0 = 1$ voldoet, want $1 + 1 = 2$ . Uniciteit: uit $x^3 + x = x'^3 + x'$ volgt

0 = (x^3 - x'^3) + (x - x') = (x - x')\,\bigl(x^2 + xx' + x'^2 + 1\bigr),

en de tweede factor is positief (hij is gelijk aan $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$ ), zodat $x = x'$ . Let op de werkverdeling: het bestaan berustte op een gelukkige gok, de uniciteit op algebra die geldt voor willekeurige oplossingen — geen van beide argumenten doet het werk van het andere, en de tweede helft vergeten blijft een blijvende verleiding zodra één oplossing gevonden is.

Lees in het hoofdstuk →