Apa itu persamaan diferensial linear orde dua?

Contoh 5.11 (Sebuah masalah Cauchy, dari awal sampai akhir)

Selesaikan $y'' - 3y' + 2y = 0$ dengan $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Polinomial karakteristiknya $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ mempunyai akar real $1$ dan $2$: jadi penyelesaian umumnya $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. Kedua syaratnya memberikan sistem linear

jadi $\mu = 1$, $\lambda = -1$:

Periksa: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ memberikan $y'(0) = 1$; dan $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Perhatikan bentuk jawabannya: di dekat $-\infty$ ragam yang lambat $-\eu^x$ mendominasi; di dekat $+\infty$ ragam yang cepat $\eu^{2x}$ yang mendominasi. Membaca penyelesaian sebagai superposisi ragam dengan laju peluruhan atau pertumbuhan yang berbeda adalah kebiasaan yang menguntungkan — begitulah pemilahan peralihan dan keadaan tunak pada soal akhir pekan ditata.

Contoh 5.14 (Superposisi dalam praktik)

Selesaikan $y'' - y = \eu^{x} + 4$ pada $\R$. Homogennya: $\chi(r) = r^2 - 1$, dengan akar $\pm1$, jadi $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Belah ruas kanannya lalu tangani setiap potongan dengan kotak metodenya. Potongan $\eu^x$: di sini $\gamma = 1$ adalah akar sederhana $\chi$, jadi cobalah $y_1 = c\,x\,\eu^x$: maka $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, yang memberikan $c = \frac12$. Potongan $4$: di sini $\gamma = 0$ bukan akarnya; konstanta $y_2 = -4$ memenuhi. Menurut superposisi (Teorema 5.12 (2)):

Perhatikan bagaimana kedua potongan itu menuntut bentuk yang berbeda ($m = 1$ berbanding $m = 0$): uji kegandaannya diterapkan pada masing-masing eksponen secara terpisah, dan itulah seluruh maksud pembelahan ruas kanannya sebelum menerka.

Contoh 5.15 (Kaidah kegandaan dalam praktik)

Selesaikan $y'' + y' = x$ pada $\R$. Ruas kanannya adalah $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ dengan $P(x) = x$, dan $\gamma = 0$ adalah akar sederhana $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: jadi $m = 1$, dan terkaan yang benar adalah $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$, yang satu derajat lebih tinggi daripada $P$. Dengan mensubstitusikannya:

dan penyamaan dengan $x$ memberikan $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$: jadi $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Penyelesaian umumnya: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Seandainya kita menerka $y_p = \alpha x + \beta$ (dengan mengabaikan kegandaannya), substitusi akan memberikan $y_p'' + y_p' = \alpha$, yaitu sebuah konstanta — tak ada pilihan $\alpha, \beta$ yang dapat mencocoki $x$, dan kegagalannya bersifat struktural: konstanta sudah memenuhi persamaan homogennya, jadi ia tak terlihat oleh ruas kirinya. Faktor $x^m$ ada justru untuk memanjat keluar dari ruang penyelesaian homogennya.