Qu'est-ce que « équation différentielle linéaire du second ordre » ?

Exemple 5.11 (Un problème de Cauchy, du début à la fin)

Résolvons $y'' - 3y' + 2y = 0$ avec $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Le polynôme caractéristique $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ a les racines réelles $1$ et $2$ : solution générale $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. Les deux conditions donnent le système linéaire

donc $\mu = 1$, $\lambda = -1$ :

Vérification : $y(0) = 0$ ; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ vérifie $y'(0) = 1$ ; et $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Notons la forme de la réponse : au voisinage de $-\infty$ c’est le mode lent $-\eu^x$ qui domine ; au voisinage de $+\infty$, le mode rapide $\eu^{2x}$. Lire les solutions comme des superpositions de modes ayant des taux de décroissance ou de croissance différents est l’habitude payante — c’est ainsi qu’est organisée la séparation transitoire/régime permanent du devoir maison.

Exemple 5.14 (La superposition à l’œuvre)

Résolvons $y'' - y = \eu^{x} + 4$ sur $\R$. Équation homogène : $\chi(r) = r^2 - 1$, racines $\pm1$, donc $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Séparons le second membre et traitons chaque morceau par l’encadré de méthode. Morceau $\eu^x$ : ici $\gamma = 1$ est racine simple de $\chi$, essayons donc $y_1 = c\,x\,\eu^x$ : alors $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, d’où $c = \frac12$. Morceau $4$ : $\gamma = 0$ n’est pas racine ; la constante $y_2 = -4$ convient. Par superposition (Théorème 5.12 (2)) :

Notons que les deux morceaux ont exigé des formes différentes ($m = 1$ contre $m = 0$) : le test de multiplicité s’applique à chaque exposant séparément, ce qui est tout l’intérêt de séparer le second membre avant de deviner.

Exemple 5.15 (La règle de multiplicité à l’œuvre)

Résolvons $y'' + y' = x$ sur $\R$. Le second membre est $P(x)\eu^{0\cdot x}$ avec $P(x) = x$, et $\gamma = 0$ est racine simple de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$ : donc $m = 1$, et le bon essai est $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$, de degré un de plus que $P$. En substituant :

et l’identification avec $x$ donne $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$ : $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Solution générale : $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Si nous avions essayé $y_p = \alpha x + \beta$ (en ignorant la multiplicité), la substitution aurait donné $y_p'' + y_p' = \alpha$, une constante — aucun choix de $\alpha, \beta$ ne peut égaler $x$, et l’échec est structurel : les constantes sont déjà solutions de l’équation homogène, donc elles sont invisibles pour le membre de gauche. Le facteur $x^m$ existe précisément pour sortir de l’espace des solutions homogènes.