Wat is differentiaalvergelijking lineair van de tweede orde?

Voorbeeld 5.11 (Een Cauchy-probleem van begin tot eind)

Los $y'' - 3y' + 2y = 0$ op met $y(0) = 0$ en $y'(0) = 1$. De karakteristieke veelterm $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ heeft de reële wortels $1$ en $2$: de algemene oplossing is $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. De twee voorwaarden geven het lineaire stelsel

dus $\mu = 1$ en $\lambda = -1$:

Controle: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ geeft $y'(0) = 1$; en $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Let op de vorm van het antwoord: bij $-\infty$ overheerst de trage mode $-\eu^x$, bij $+\infty$ de snelle mode $\eu^{2x}$. Oplossingen lezen als superposities van modes met verschillende afname- of groeisnelheden is de lonende gewoonte — zo is ook de splitsing tussen inschakelverschijnsel en regime in de weekendopgave georganiseerd.

Voorbeeld 5.14 (Superpositie in actie)

Los $y'' - y = \eu^{x} + 4$ op op $\R$. Homogeen: $\chi(r) = r^2 - 1$ met wortels $\pm1$, dus $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Splits het rechterlid en behandel elk stuk met het methodekader. Stuk $\eu^x$: hier is $\gamma = 1$ een enkelvoudige wortel van $\chi$, dus probeer $y_1 = c\,x\,\eu^x$: dan is $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, wat $c = \frac12$ geeft. Stuk $4$: $\gamma = 0$ is geen wortel; de constante $y_2 = -4$ voldoet. Met de superpositie (Stelling 5.12 (2)):

Merk op hoe de twee stukken verschillende vormen eisten ($m = 1$ tegenover $m = 0$): de multipliciteitstoets pas je op elke exponent afzonderlijk toe, en dat is de hele reden om het rechterlid te splitsen vóór je gaat raden.

Voorbeeld 5.15 (De multipliciteitsregel aan het werk)

Los $y'' + y' = x$ op op $\R$. Het rechterlid is $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ met $P(x) = x$, en $\gamma = 0$ is een enkelvoudige wortel van $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: dus $m = 1$, en de juiste gok is $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$, één graad hoger dan $P$. Substitutie geeft

en gelijkstellen met $x$ levert $\alpha = \frac12$ en $\beta = -1$: $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Algemene oplossing: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Hadden we $y_p = \alpha x + \beta$ gegokt (met verwaarlozing van de multipliciteit), dan zou substitutie $y_p'' + y_p' = \alpha$ geven, een constante — geen enkele keuze van $\alpha, \beta$ kan $x$ evenaren, en dat falen is structureel: constanten lossen de homogene vergelijking al op en zijn dus onzichtbaar voor het linkerlid. De factor $x^m$ bestaat juist om uit de homogene oplossingsruimte te klimmen.