O que é equação diferencial linear de segunda ordem?

Exemplo 5.11 (Um problema de Cauchy, do início ao fim)

Resolva $y'' - 3y' + 2y = 0$ com $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. O polinômio característico $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ tem as raízes reais $1$ e $2$: solução geral $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. As duas condições dão o sistema linear

de modo que $\mu = 1$, $\lambda = -1$:

Verificação: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ tem $y'(0) = 1$; e $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Note a forma da resposta: perto de $-\infty$ domina o modo lento $-\eu^x$; perto de $+\infty$, o modo rápido $\eu^{2x}$. Ler as soluções como superposições de modos com taxas diferentes de decaimento ou crescimento é o hábito rentável — é assim que a separação transitório/regime permanente do problema de fim de semana é organizada.

Exemplo 5.14 (Superposição em ação)

Resolva $y'' - y = \eu^{x} + 4$ em $\R$. Homogênea: $\chi(r) = r^2 - 1$, raízes $\pm1$, de modo que $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Separe o lado direito e trate cada parcela pelo quadro do método. Parcela $\eu^x$: aqui $\gamma = 1$ é raiz simples de $\chi$, então tente $y_1 = c\,x\,\eu^x$: nesse caso $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, o que dá $c = \frac12$. Parcela $4$: $\gamma = 0$ não é raiz; a constante $y_2 = -4$ serve. Por superposição (Teorema 5.12 (2)):

Note como as duas parcelas exigiram formas diferentes ($m = 1$ contra $m = 0$): o teste de multiplicidade é aplicado a cada expoente separadamente, o que é toda a razão de separar o lado direito antes de adivinhar.

Exemplo 5.15 (A regra da multiplicidade em ação)

Resolva $y'' + y' = x$ em $\R$. O lado direito é $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ com $P(x) = x$, e $\gamma = 0$ é raiz simples de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: logo $m = 1$, e o palpite correto é $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$, um grau acima de $P$. Substituindo:

e a identificação com $x$ dá $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$: $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Solução geral: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Se tivéssemos adivinhado $y_p = \alpha x + \beta$ (ignorando a multiplicidade), a substituição daria $y_p'' + y_p' = \alpha$, uma constante — nenhuma escolha de $\alpha, \beta$ pode igualar $x$, e a falha é estrutural: as constantes já resolvem a equação homogênea, de modo que são invisíveis ao lado esquerdo. O fator $x^m$ existe precisamente para sair do espaço das soluções homogêneas.