ما معنى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية؟

مثال 5.11 (مسألة كوشي من أولها إلى آخرها)

حُلَّ $y'' - 3y' + 2y = 0$ مع $y(0) = 0$ و $y'(0) = 1$. لكثير الحدود المميِّز $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ الجذران الحقيقيان $1$ و $2$: فالحل العام $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. ويعطي الشرطان الجملة الخطية

ومنه $\mu = 1$ و $\lambda = -1$:

وللتحقق: $y(0) = 0$؛ و$y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ يحقق $y'(0) = 1$؛ و $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. ولاحظ شكل الجواب: فقرب $-\infty$ يهيمن النمط البطيء $-\eu^x$؛ وقرب $+\infty$ يهيمن النمط السريع $\eu^{2x}$. وقراءة الحلول بوصفها تراكبًا لأنماط ذات معدلات تناقص أو نموّ مختلفة عادةٌ مربحة — فبها يُنظَّم فصل العابر عن المستقرّ في مسألة نهاية الأسبوع.

مثال 5.14 (التراكب في العمل)

حُلَّ $y'' - y = \eu^{x} + 4$ على $\R$. والمتجانسة: $\chi(r) = r^2 - 1$، وجذراها $\pm1$، ومنه $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. وافصل الطرف الأيمن وعالج كل قطعة بصندوق الطريقة. القطعة $\eu^x$: هنا $\gamma = 1$ جذر بسيط لكثير الحدود $\chi$، فجرّب $y_1 = c\,x\,\eu^x$: عندئذ $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$، ومنه $c = \frac12$. القطعة $4$: العدد $\gamma = 0$ ليس جذرًا؛ فالثابت $y_2 = -4$ يفي بالغرض. وبالتراكب (المبرهنة 5.12 (2)):

ولاحظ كيف اقتضت القطعتان صورتين مختلفتين ($m = 1$ في مقابل $m = 0$): فاختبار التضاعف يُطبَّق على كل أسّ على حدة، وهذا هو كل مغزى فصل الطرف الأيمن قبل التخمين.

مثال 5.15 (قاعدة التضاعف في العمل)

حُلَّ $y'' + y' = x$ على $\R$. الطرف الأيمن هو $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ مع $P(x) = x$، والعدد $\gamma = 0$ جذر بسيط لكثير الحدود $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: ومنه $m = 1$، ويكون التخمين الصحيح $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$، أي بدرجة أعلى بواحد من درجة $P$. وبالتعويض:

والمطابقة مع $x$ تعطي $\alpha = \frac12$ و $\beta = -1$: $y_p = \frac{x^2}2 - x$. والحل العام: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. ولو خمّنّا $y_p = \alpha x + \beta$ (بتجاهل التضاعف) لأعطى التعويض $y_p'' + y_p' = \alpha$، وهو ثابت — فلا اختيار للثابتين $\alpha, \beta$ يطابق $x$، والإخفاق بنيويّ: فالثوابت تحلّ المعادلة المتجانسة أصلًا، فهي غير مرئية للطرف الأيسر. والعامل $x^m$ موجود بالضبط للتسلّق خارج فضاء الحلول المتجانسة.