¿Qué es ecuación diferencial lineal de segundo orden?

Ejemplo 5.11 (Un problema de Cauchy, de principio a fin)

Resuélvase $y'' - 3y' + 2y = 0$ con $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. El polinomio característico $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ tiene las raíces reales $1$ y $2$: solución general $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$. Las dos condiciones dan el sistema lineal

luego $\mu = 1$, $\lambda = -1$:

Comprobación: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ cumple $y'(0) = 1$; y $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$. Obsérvese la forma de la respuesta: cerca de $-\infty$ domina el modo lento $-\eu^x$; cerca de $+\infty$, el modo rápido $\eu^{2x}$. Leer las soluciones como superposiciones de modos con distintas tasas de crecimiento o de decaimiento es el hábito rentable — así se organiza el reparto entre transitorio y régimen permanente del problema del fin de semana.

Ejemplo 5.14 (La superposición en acción)

Resuélvase $y'' - y = \eu^{x} + 4$ en $\R$. Homogénea: $\chi(r) = r^2 - 1$, raíces $\pm1$, luego $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$. Sepárese el miembro derecho y trátese cada trozo con el método. Trozo $\eu^x$: aquí $\gamma = 1$ es raíz simple de $\chi$, así que se prueba $y_1 = c\,x\,\eu^x$: entonces $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, de donde $c = \frac12$. Trozo $4$: $\gamma = 0$ no es raíz; sirve la constante $y_2 = -4$. Por superposición (Teorema 5.12 (2)):

Obsérvese cómo los dos trozos han exigido formas distintas ($m = 1$ frente a $m = 0$): el criterio de multiplicidad se aplica a cada exponente por separado, que es justamente la razón de separar el miembro derecho antes de conjeturar.

Ejemplo 5.15 (La regla de la multiplicidad en acción)

Resuélvase $y'' + y' = x$ en $\R$. El miembro derecho es $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ con $P(x) = x$, y $\gamma = 0$ es raíz simple de $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$: luego $m = 1$, y la conjetura correcta es $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$, un grado más que $P$. Sustituyendo:

e identificando con $x$ se obtiene $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$: $y_p = \frac{x^2}2 - x$. Solución general: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$. Si se hubiese conjeturado $y_p = \alpha x + \beta$ (ignorando la multiplicidad), la sustitución daría $y_p'' + y_p' = \alpha$, una constante — ninguna elección de $\alpha, \beta$ puede igualar a $x$, y el fracaso es estructural: las constantes ya resuelven la ecuación homogénea, así que son invisibles para el miembro izquierdo. El factor $x^m$ existe precisamente para salir del espacio de soluciones homogéneas.