अवकल समीकरण द्वितीय कोटि रैखिक क्या है?

उदाहरण 5.11 (एक कोशी समस्या, आरंभ से अंत तक)

$y(0) = 0$, $y'(0) = 1$ के साथ $y'' - 3y' + 2y = 0$ हल कीजिए। अभिलक्षणिक बहुपद $r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2)$ के वास्तविक मूल $1$ और $2$ हैं: व्यापक हल $y = \lambda\eu^{x} + \mu\eu^{2x}$। दोनों शर्तें रैखिक निकाय देती हैं

अतः $\mu = 1$, $\lambda = -1$:

जाँच: $y(0) = 0$; $y' = 2\eu^{2x} - \eu^x$ के लिए $y'(0) = 1$; और $y'' - 3y' + 2y = (4 - 6 + 2)\eu^{2x} + (-1 + 3 - 2)\eu^x = 0$। उत्तर के आकार पर ध्यान दीजिए: $-\infty$ के पास धीमी विधा $-\eu^x$ प्रभावी है; $+\infty$ के पास तेज़ विधा $\eu^{2x}$। हलों को भिन्न क्षय या वृद्धि दरों वाली विधाओं के अध्यारोपण के रूप में पढ़ना लाभदायक आदत है — सप्ताहांत समस्या का क्षणिक/स्थायी विभाजन इसी प्रकार सँभाला गया है।

उदाहरण 5.14 (अध्यारोपण काम पर)

$\R$ पर $y'' - y = \eu^{x} + 4$ हल कीजिए। समांगी: $\chi(r) = r^2 - 1$, मूल $\pm1$, अतः $y_h = \lambda\eu^x + \mu\eu^{-x}$। दाएँ पक्ष को तोड़िए और हर टुकड़े का उपचार विधि-बॉक्स से कीजिए। टुकड़ा $\eu^x$: यहाँ $\gamma = 1$ $\chi$ का सरल मूल है, अतः $y_1 = c\,x\,\eu^x$ आज़माइए: तब $y_1'' - y_1 = c(x + 2)\eu^x - cx\eu^x = 2c\,\eu^x$, जिससे $c = \frac12$ मिलता है। टुकड़ा $4$: $\gamma = 0$ मूल नहीं है; अचर $y_2 = -4$ काम करता है। अध्यारोपण (प्रमेय 5.12 (2)) से:

ध्यान दीजिए कि दोनों टुकड़ों ने भिन्न आकार माँगे ($m = 1$ बनाम $m = 0$): बहुलता की जाँच प्रत्येक घातांक पर अलग-अलग लगती है, और अनुमान लगाने से पहले दाएँ पक्ष को तोड़ने का यही पूरा प्रयोजन है।

उदाहरण 5.15 (बहुलता का नियम काम पर)

$\R$ पर $y'' + y' = x$ हल कीजिए। दायाँ पक्ष $P(x) = x$ के साथ $P(x)\eu^{0 \cdot x}$ है, और $\gamma = 0$ $\chi(r) = r^2 + r = r(r + 1)$ का सरल मूल है: अतः $m = 1$, और सही अनुमान $y_p = x\,(\alpha x + \beta) = \alpha x^2 + \beta x$ है, जो $P$ से एक घात ऊपर है। प्रतिस्थापित करने पर:

और $x$ से पहचान करने पर $\alpha = \frac12$, $\beta = -1$ मिलते हैं: $y_p = \frac{x^2}2 - x$। व्यापक हल: $y = \frac{x^2}2 - x + \lambda + \mu\,\eu^{-x}$। यदि हमने $y_p = \alpha x + \beta$ का अनुमान लगाया होता (बहुलता की उपेक्षा करके), तो प्रतिस्थापन $y_p'' + y_p' = \alpha$ देता, जो अचर है — $\alpha, \beta$ का कोई चयन $x$ से मेल नहीं खा सकता, और यह विफलता संरचनात्मक है: अचर तो पहले से ही समांगी समीकरण को हल करते हैं, अतः वे बाएँ पक्ष के लिए अदृश्य हैं। गुणनखंड $x^m$ ठीक इसीलिए है कि समांगी हल-समष्टि से बाहर निकला जा सके।