Apa itu siklus?

Contoh 1.20 (Tipe siklus sebagai pencacahan)

Ada berapa permutasi di $\mathfrak{S}_9$ bertipe siklus $(4, 3, 2)$ — satu siklus panjang $4$, satu siklus panjang $3$, dan satu transposisi? Pilih penyangganya sekaligus urutan siklisnya:

jajarkan kesembilan lambang itu dalam satu baris ($9!$ cara), kurung empat yang pertama, tiga berikutnya, dan dua terakhir menjadi siklus, lalu bagi dengan banyaknya perputaran di dalam tiap kurung ($4$, $3$ dan $2$ buah) yang memberi permutasi yang sama. (Panjang siklusnya di sini berbeda-beda, jadi tidak perlu pembagian lagi; panjang yang sama akan menuntut pembagian oleh permutasi antar kurung yang sepanjang itu pula.) Setiap permutasi semacam itu berorde $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ dan bertanda $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 dan teorema tanda permutasi di bawah). Satu partisi $9$, satu kelas konjugasi, satu pencacahan — kombinatorika $\mathfrak{S}_n$ tak lain adalah aritmetika partisi.

Contoh 1.23 (Tiga jalan menuju satu tanda)

Misalkan $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ mengirim $1, 2, 3, 4, 5$ ke $3, 5, 4, 1, 2$. Lewat siklus: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ dan $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, jadi $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ dan $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. Lewat inversi: pada deretan nilai $3, 5, 4, 1, 2$ pasangan yang terbalik adalah $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$: tujuh buah, dan $(-1)^7 = -1$. Lewat transposisi: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, tiga faktor, $(-1)^3 = -1$. Tiga perhitungan, satu paritas: ketunggalan pada Teorema 1.21 menjamin tidak ada tata cara pembukuan yang dapat membuat ketiganya berselisih — dan justru itulah yang membuat $\varepsilon$ berguna sebagai invarian (lihat soal akhir pekan).