O que é ciclo?

Exemplo 1.20 (O tipo de ciclo como recenseamento)

Quantas permutações de $\mathfrak{S}_9$ têm tipo de ciclo $(4, 3, 2)$ — um $4$-ciclo, um $3$-ciclo, uma transposição? Escolha os suportes e as ordens cíclicas:

liste os nove símbolos em fila ($9!$ maneiras), agrupe os quatro primeiros, os três seguintes e os dois últimos em ciclos, e divida pelas rotações internas de cada grupo ($4$, $3$ e $2$ delas), que dão a mesma permutação. (Os comprimentos dos ciclos são distintos aqui, logo não há mais nada a dividir; comprimentos iguais exigiriam dividir também pelas permutações dos grupos de mesmo comprimento.) Toda permutação desse tipo tem ordem $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ e assinatura $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 e o teorema da assinatura adiante). Uma partição de $9$, uma classe de conjugação, um recenseamento — a combinatória de $\mathfrak{S}_n$ é a aritmética das partições.

Exemplo 1.23 (Três caminhos para um só sinal)

Seja $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ a permutação que leva $1, 2, 3, 4, 5$ em $3, 5, 4, 1, 2$. Pelos ciclos: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ e $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, logo $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ e $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. Pelas inversões: na lista de valores $3, 5, 4, 1, 2$ os pares fora de ordem são $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$: sete deles, e $(-1)^7 = -1$. Pelas transposições: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, três fatores, $(-1)^3 = -1$. Três cálculos, uma só paridade: a unicidade do Teorema 1.21 garante que nenhum esquema de contagem possa fazê-los discordar — e é exatamente isso que torna $\varepsilon$ utilizável como invariante (veja o problema de fim de semana).