चक्र क्या है?

उदाहरण 1.20 (चक्र-प्रकार एक जनगणना के रूप में)

$\mathfrak{S}_9$ के कितने क्रमचयों का चक्र-प्रकार $(4, 3, 2)$ है — अर्थात् एक $4$-चक्र, एक $3$-चक्र और एक पार्यय? वाहक तथा चक्रीय क्रम चुनिए:

नौ प्रतीकों को एक पंक्ति में रखिए ($9!$ प्रकार से), पहले चार, अगले तीन और अंतिम दो को चक्रों में बाँधिए, और प्रत्येक बंधन के भीतर के घूर्णनों से भाग दीजिए (जो क्रमशः $4$, $3$ और $2$ हैं) क्योंकि वे वही क्रमचय देते हैं। (यहाँ चक्रों की लंबाइयाँ भिन्न हैं, अतः और भाग नहीं देना पड़ता; समान लंबाइयाँ होतीं तो समान बंधनों के क्रमचयों से भी भाग देना पड़ता।) ऐसे प्रत्येक क्रमचय की कोटि $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ और चिह्न $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ होता है (प्रमेय 1.19 तथा नीचे दी गई चिह्न-प्रमेय से)। $9$ का एक विभाजन, एक संयुग्मता वर्ग, एक जनगणना — $\mathfrak{S}_n$ का संचयशास्त्र विभाजनों का अंकगणित ही है।

उदाहरण 1.23 (एक ही चिह्न तक तीन रास्ते)

मान लीजिए $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ $1, 2, 3, 4, 5$ को $3, 5, 4, 1, 2$ पर भेजता है। चक्रों से: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ और $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, अतः $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ तथा $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$। व्युत्क्रमों से: मानों की सूची $3, 5, 4, 1, 2$ में क्रम-भंग करने वाले युग्म $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$ हैं: कुल सात, और $(-1)^7 = -1$। पार्ययों से: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, तीन गुणनखंड, अतः $(-1)^3 = -1$। तीन परिकलन, एक ही सम-विषमता: प्रमेय 1.21 की अद्वितीयता इसकी गारंटी देती है कि कोई भी लेखा-पद्धति इन्हें कभी असहमत नहीं कर सकती — और यही $\varepsilon$ को एक अपरिवर्त्य के रूप में उपयोगी बनाता है (सप्ताहांत समस्या देखिए)।