Qu'est-ce que « cycle » ?

Exemple 1.20 (Le type de cycle comme recensement)

Combien de permutations de $\mathfrak{S}_9$ ont le type de cycle $(4, 3, 2)$ — un $4$-cycle, un $3$-cycle, une transposition ? On choisit les supports et les ordres cycliques :

on aligne les neuf symboles en ligne ($9!$ façons), on regroupe les quatre premiers, les trois suivants, les deux derniers en cycles, et on divise par les rotations à l’intérieur de chaque groupe ($4$, $3$ et $2$ respectivement) qui donnent la même permutation. (Ici les longueurs des cycles sont distinctes, donc pas d’autre division ; des longueurs égales exigeraient aussi de diviser par les permutations des groupes de même taille.) Toute telle permutation est d’ordre $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ et de signature $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Théorème 1.19 et le théorème de la signature ci-dessous). Une partition de $9$, une classe de conjugaison, un recensement — la combinatoire de $\mathfrak{S}_n$ est l’arithmétique des partitions.

Exemple 1.23 (Trois chemins vers un même signe)

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ envoyant $1, 2, 3, 4, 5$ sur $3, 5, 4, 1, 2$. Par les cycles : $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ et $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, donc $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ et $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. Par les inversions : dans la liste de valeurs $3, 5, 4, 1, 2$ les paires en désordre sont $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$ : sept d’entre elles, et $(-1)^7 = -1$. Par les transpositions : $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, trois facteurs, $(-1)^3 = -1$. Trois calculs, une parité : l’unicité dans le Théorème 1.21 garantit qu’aucun schéma de comptabilité ne peut jamais les faire diverger — ce qui est exactement ce qui rend $\varepsilon$ utilisable comme invariant (voir le problème du week-end).