Wat is cykel?

Voorbeeld 1.20 (Cykeltype als telling)

Hoeveel permutaties van $\mathfrak{S}_9$ hebben cykeltype $(4, 3, 2)$ — één $4$-cykel, één $3$-cykel, één transpositie? Kies de dragers en de cyclische volgorden:

zet de negen symbolen op een rij ($9!$ manieren), haak de eerste vier, de volgende drie en de laatste twee in cykels, en deel door de rotaties binnen elk haakje ($4$, $3$ en $2$ stuks) die dezelfde permutatie opleveren. (De cykellengten zijn hier verschillend, dus is er geen verdere deling nodig; bij gelijke lengten zou men ook nog door de permutaties van de gelijke haakjes moeten delen.) Elke zulke permutatie heeft orde $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ en signatuur $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Stelling 1.19 en de signatuurstelling hieronder). Eén partitie van $9$, één conjugatieklasse, één telling — de combinatoriek van $\mathfrak{S}_n$ is de rekenkunde van de partities.

Voorbeeld 1.23 (Drie wegen naar één teken)

Zij $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ de permutatie die $1, 2, 3, 4, 5$ naar $3, 5, 4, 1, 2$ stuurt. Via cykels: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ en $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, dus $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ en $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. Via inversies: in de waardenlijst $3, 5, 4, 1, 2$ zijn de paren buiten volgorde $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$: zeven stuks, en $(-1)^7 = -1$. Via transposities: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, drie factoren, $(-1)^3 = -1$. Drie berekeningen, één pariteit: de eenduidigheid in Stelling 1.21 garandeert dat geen enkel boekhoudschema ze ooit kan laten botsen — en juist dat maakt $\varepsilon$ bruikbaar als invariant (zie de weekendopgave).