¿Qué es ciclo?

Ejemplo 1.20 (El tipo de ciclos como recuento)

¿Cuántas permutaciones de $\mathfrak{S}_9$ tienen el tipo de ciclos $(4, 3, 2)$ —un ciclo de longitud $4$, uno de longitud $3$ y una transposición—? Se eligen los soportes y los órdenes cíclicos:

se alinean los nueve símbolos en fila ($9!$ maneras), se agrupan los cuatro primeros, los tres siguientes y los dos últimos en ciclos y se divide por las rotaciones dentro de cada grupo ($4$, $3$ y $2$ respectivamente), que dan la misma permutación. (Aquí las longitudes de los ciclos son distintas, luego no hay que dividir más; con longitudes iguales habría que dividir además por las permutaciones de los grupos iguales.) Toda permutación de este tipo tiene orden $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ y signatura $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 y el teorema de la signatura de más abajo). Una partición de $9$, una clase de conjugación, un recuento: la combinatoria de $\mathfrak{S}_n$ es la aritmética de las particiones.

Ejemplo 1.23 (Tres caminos hacia un mismo signo)

Sea $\sigma \in \mathfrak{S}_5$ la permutación que envía $1, 2, 3, 4, 5$ a $3, 5, 4, 1, 2$. Por ciclos: $1 \mapsto 3 \mapsto 4 \mapsto 1$ y $2 \mapsto 5 \mapsto 2$, luego $\sigma = (1\,3\,4)(2\,5)$ y $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{2}(-1)^{1} = -1$. Por inversiones: en la lista de valores $3, 5, 4, 1, 2$ los pares desordenados son $(3,1)$, $(3,2)$, $(5,4)$, $(5,1)$, $(5,2)$, $(4,1)$, $(4,2)$: siete, y $(-1)^7 = -1$. Por transposiciones: $\sigma = (1\,4)(1\,3)(2\,5)$, tres factores, $(-1)^3 = -1$. Tres cálculos, una misma paridad: la unicidad del Teorema 1.21 garantiza que ningún sistema de recuento puede hacerlos discrepar, y eso es exactamente lo que convierte a $\varepsilon$ en un invariante utilizable (véase el problema de fin de semana).