Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

20Rijen

Een rij is een lijst reële getallen, geïndexeerd door de natuurlijke getallen. Rijen modelleren discrete evoluties — populaties die jaar na jaar geteld worden, saldi van een bankrekening, opeenvolgende benaderingen van een getal — en hun limieten vormen de eerste ernstige ontmoeting met het oneindige. Dit hoofdstuk zet de woordenschat op, samen met het principe van de inductie en de fundamentele convergentiestellingen.

20.1 Redeneren met inductie

Stelling 20.1 (Principe van de inductie)

Zij $P(n)$ een uitspraak die van een geheel getal $n$ afhangt, en zij $n_0 \in \N$ . Als

(basisgeval) $P(n_0)$ waar is, en
(inductiestap) voor elke $n \geq n_0$ uit $P(n)$ volgt dat $P(n+1)$ ,

dan is $P(n)$ waar voor elke $n \geq n_0$ .

Bewijs. Stel uit het ongerijmde dat de verzameling $A$ van de gehele getallen $n \geq n_0$ waarvoor $P(n)$ vals is, niet leeg is. Dan heeft $A$ een kleinste element $m$ .¹ Omdat $P(n_0)$ waar is, geldt $m > n_0$ , dus $m - 1 \geq n_0$ en $m-1 \notin A$ , dus is $P(m-1)$ waar. De inductiestap toegepast op $n = m-1$ toont dan dat $P(m)$ waar is, in tegenspraak met $m \in A$ . ∎

Voorbeeld 20.2

We bewijzen de ongelijkheid van Bernoulli: voor elke reële $a > 0$ en elke $n \in \N$ geldt

(1+a)^n \geq 1 + na.

Basisgeval. Voor $n = 0$ zijn beide leden gelijk aan $1$ . Inductiestap. Stel dat $(1+a)^n \geq 1+na$ voor een zekere $n \in \N$ . Omdat $1 + a > 0$ , behoudt beide leden met $1+a$ vermenigvuldigen de ongelijkheid:

(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .

Met inductie geldt de ongelijkheid dus voor alle $n \in \N$ .

Methode 20.3 (Een inductiebewijs schrijven)

Maak de uitspraak $P(n)$ altijd expliciet vóór je begint. Een volledig bewijs heeft drie zichtbare delen: het basisgeval, de inductiestap (“neem $P(n)$ aan; we bewijzen $P(n+1)$ ”) en het besluit dat het principe van de inductie inroept. De meest voorkomende fout is de inductiestap bewijzen zonder ooit de hypothese $P(n)$ te gebruiken: gebeurt dat, dan is ofwel het bewijs verkeerd, ofwel was inductie niet nodig.

20.2 Woordenschat van de rijen

Definitie 20.4 (Rij)

Een rij is een functie $u \colon \N \to \R$ (of van $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ naar $\R$ ). Het beeld van $n$ wordt $u_n$ geschreven, en de rij zelf $(u_n)_{n\in\N}$ of gewoon $(u_n)$ .

Een rij kan expliciet gegeven zijn, door een formule $u_n = f(n)$ , of door recursie, door haar eerste term en een betrekking $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Definitie 20.5 (Monotonie)

Een rij $(u_n)$ heet stijgend wanneer $u_{n+1} \geq u_n$ voor alle $n$ , dalend wanneer $u_{n+1} \leq u_n$ voor alle $n$ , en monotoon wanneer ze stijgend of dalend is. Ze is strikt stijgend (respectievelijk dalend) wanneer de ongelijkheden strikt zijn.

Methode 20.6 (De monotonie van een rij bestuderen)

Drie gebruikelijke technieken:

bestudeer het teken van $u_{n+1} - u_n$ ;
zijn alle termen positief, vergelijk dan $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ met $1$ ;
is $u_n = f(n)$ met $f$ gedefinieerd op $\intco{0}{+\infty}$ , gebruik dan het verloop van $f$ .

Definitie 20.7 (Begrensde rij)

Een rij $(u_n)$ heet naar boven begrensd wanneer er een $M \in \R$ bestaat met $u_n \leq M$ voor alle $n$ ; naar beneden begrensd wanneer er een $m \in \R$ bestaat met $u_n \geq m$ voor alle $n$ ; en begrensd wanneer beide gelden.

20.2.1 Rekenkundige en meetkundige rijen

Definitie 20.8 (Rekenkundige en meetkundige rijen)

Een rij $(u_n)$ heet rekenkundig met verschil $r$ wanneer $u_{n+1} = u_n + r$ voor alle $n$ , en meetkundig met reden $q$ wanneer $u_{n+1} = q\,u_n$ voor alle $n$ .

Propositie 20.9 (Expliciete vorm en sommen)

Zij $n \in \N$ .

Is $(u_n)$ rekenkundig met verschil $r$ , dan is $u_n = u_0 + nr$ en

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$
Is $(u_n)$ meetkundig met reden $q \neq 1$ , dan is $u_n = u_0\, q^n$ en

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Bewijs. De expliciete vormen volgen met onmiddellijke inducties. Voor de rekenkundige som schrijf je $S = u_0 + \dots + u_n$ en tel je dezelfde som in omgekeerde volgorde erbij op: elk van de $n+1$ kolomsommen is gelijk aan $u_0 + u_n$ , dus $2S = (n+1)(u_0+u_n)$ . Voor de meetkundige som bereken je $S - qS$ : alle termen vallen paarsgewijs weg behalve de eerste en de laatste, zodat $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$ . ∎

20.3 Limiet van een rij

Definitie 20.10 (Convergente rij)

Een rij $(u_n)$ convergeert naar het reële getal $\ell$ wanneer elk open interval dat $\ell$ bevat, vanaf een zekere index alle termen $u_n$ bevat. We schrijven dan $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Gelijkwaardig: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er een $N \in \N$ zodat $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ voor alle $n \geq N$ .

Convergentie van u_n = 2 + (-1)n/n naar = 2: bij gegeven > 0 liggen alle termen vanaf de index N in de band [ - , + ]. — Convergentie van $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ naar $\ell = 2$ : bij gegeven $\varepsilon > 0$ liggen alle termen vanaf de index $N$ in de band $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Definitie 20.11 (Divergentie naar oneindig)

De rij $(u_n)$ streeft naar $+\infty$ wanneer er voor elke $A \in \R$ een $N \in \N$ bestaat zodat $u_n \geq A$ voor alle $n \geq N$ . We schrijven $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; de definitie van $\lim u_n = -\infty$ verloopt analoog. Van een rij die niet convergeert zegt men dat ze divergeert.

Opmerking 20.12

Een rij kan divergeren zonder naar $\pm\infty$ te streven: de rij $u_n = (-1)^n$ neemt alleen de waarden $1$ en $-1$ aan en heeft geen limiet.

Propositie 20.13 (Uniciteit van de limiet)

Convergeert $(u_n)$ , dan is haar limiet uniek.

Bewijs. Stel $u_n \to \ell$ en $u_n \to \ell'$ met $\ell \neq \ell'$ , zeg $\ell < \ell'$ . Stel $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ . Vanaf een zekere index geldt $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ en $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$ , dus

\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,

een tegenspraak. ∎

Propositie 20.14 (Bewerkingen met limieten)

Zijn $(u_n)$ en $(v_n)$ rijen met limieten $\ell$ en $\ell'$ (eindig of oneindig), dan geldt, zolang het rechterlid geen onbepaalde vorm is,

\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.

De onbepaalde vormen zijn $(+\infty) + (-\infty)$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ en $\frac{0}{0}$ .

Bewijs. We bewijzen de somregel voor eindige limieten; de andere gevallen verlopen analoog en blijven als oefening. Zij $\varepsilon > 0$ . Er bestaan $N_1, N_2$ zodat $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ voor $n \geq N_1$ en $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ voor $n \geq N_2$ . Voor $n \geq \max(N_1, N_2)$ geeft de driehoeksongelijkheid

\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere

∎

Methode 20.15 (Een onbepaalde vorm opheffen)

Sta je voor een onbepaalde vorm, haal dan de overheersende term buiten haakjes. Bijvoorbeeld:

n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .

20.4 Convergentiestellingen

Stelling 20.16 (Vergelijkings- en insluitstelling)

Zij $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ rijen.

Is $u_n \leq v_n$ vanaf een zekere index en $u_n \to +\infty$ , dan is $v_n \to +\infty$ .
(Insluitstelling) Is $u_n \leq v_n \leq w_n$ vanaf een zekere index en convergeren $(u_n)$ en $(w_n)$ allebei naar dezelfde limiet $\ell$ , dan convergeert $(v_n)$ naar $\ell$ .

Bewijs. 1. Zij $A \in \R$ . Omdat $u_n \to +\infty$ , bestaat er een $N$ met $u_n \geq A$ voor $n \geq N$ ; door $N$ zo nodig te vergroten geldt $v_n \geq u_n \geq A$ voor $n \geq N$ .

2. Zij $\varepsilon > 0$ . Vanaf een zekere index gelden zowel $\ell - \varepsilon \leq u_n$ als $w_n \leq \ell + \varepsilon$ , dus $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$ , en dat is $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$ . ∎

Voorbeeld 20.17

Voor alle $n \geq 1$ geldt $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , en beide grenzen streven naar $0$ ; bijgevolg is $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ .

Stelling 20.18 (Stelling van de monotone convergentie)

Een stijgende rij die naar boven begrensd is, convergeert. Een dalende rij die naar beneden begrensd is, convergeert. Een stijgende rij die niet naar boven begrensd is, streeft naar $+\infty$ .

Gedeeltelijk bewijs. We bewijzen de derde uitspraak. Zij $(u_n)$ stijgend en niet naar boven begrensd, en zij $A \in \R$ . Omdat $A$ geen bovengrens is, bestaat er een $N$ met $u_N \geq A$ ; door de monotonie is $u_n \geq u_N \geq A$ voor alle $n \geq N$ . Bijgevolg is $u_n \to +\infty$ .

De twee convergentie-uitspraken steunen op de eigenschap van de kleinste bovengrens van $\R$ ; ze worden op dit niveau aangenomen (en in het eerste bachelorjaar bewezen). ∎

Opmerking 20.19

De stelling waarborgt het bestaan van de limiet maar geeft haar waarde niet. Een stijgende rij die naar boven begrensd is door $M$ convergeert naar een zekere $\ell \leq M$ , niet noodzakelijk naar $M$ .

Stelling 20.20 (Limiet van meetkundige rijen)

Zij $q \in \R$ .

Is $q > 1$ , dan is $q^n \to +\infty$ .
Is $q = 1$ , dan is $q^n \to 1$ .
Is $\abs{q} < 1$ , dan is $q^n \to 0$ .
Is $q \leq -1$ , dan divergeert $(q^n)$ en heeft ze geen limiet.

Bewijs. 1. Schrijf $q = 1 + a$ met $a > 0$ . De ongelijkheid van Bernoulli (Voorbeeld 20.2) geeft $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ , en we besluiten door vergelijking (Stelling 20.16).

2. Onmiddellijk.

3. Is $q = 0$ , dan is de bewering duidelijk. Anders geeft $\abs{q} < 1$ dat $1/\abs{q} > 1$ , dus $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ volgens punt 1, dus $\abs{q}^n \to 0$ ; en met $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ besluiten we met de insluitstelling.

4. Voor $q \leq -1$ neemt $(q^{2n})$ waarden $\geq 1$ aan terwijl $(q^{2n+1})$ waarden $\leq -1$ aanneemt: geen enkele limiet kan beide deelrijen aantrekken. ∎

De drie gedragingen van (qn): divergentie naar +∈fty voor q > 1 (rood), convergentie naar 0 voor q < 1 (blauw), en gedempte schommeling — nog altijd convergentie naar 0 — voor -1 < q < 0 (oranje). — De drie gedragingen van $(q^n)$ : divergentie naar $+\infty$ voor $q > 1$ (rood), convergentie naar $0$ voor $\abs q < 1$ (blauw), en gedempte schommeling — nog altijd convergentie naar $0$ — voor $-1 < q < 0$ (oranje).

Methode 20.21 (Recursieve rijen $u_{n+1} = f(u_n)$ )

Om een rij bepaald door $u_{n+1} = f(u_n)$ te bestuderen:

bewijs met inductie dat $(u_n)$ in een interval $I$ blijft waarop $f$ zich netjes gedraagt (en, vaak, dat $(u_n)$ monotoon is);
leid de convergentie af uit de stelling van de monotone convergentie;
ga in de betrekking $u_{n+1} = f(u_n)$ over naar de limiet: is $f$ continu en $u_n \to \ell \in I$ , dan voldoet $\ell$ aan $f(\ell) = \ell$ (zie Hoofdstuk 21); los die vergelijking op en kies de juiste wortel.

Trapconstructie voor u_n+1 = √u_n + 2 met u_0 = 0 (): elke verticale stap leest f(u_n) op de kromme af, elke horizontale stap brengt die waarde via y = x terug. De rij klimt naar het vaste punt = 2, waar de kromme de rechte ontmoet. — Trapconstructie voor $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ met $u_0 = 0$ (Oefening 20.6): elke verticale stap leest $f(u_n)$ op de kromme af, elke horizontale stap brengt die waarde via $y = x$ terug. De rij klimt naar het vaste punt $\ell = 2$ , waar de kromme de rechte ontmoet.

Voorbeeld 20.22

Zij $u_0 = 2$ en $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Met inductie ga je na dat $u_n \geq \sqrt{2}$ voor alle $n$ (de ongelijkheid $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ voor $x>0$ is gelijkwaardig met $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), en daarna dat $(u_n)$ dalend is, want

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Dalend en naar beneden begrensd convergeert $(u_n)$ naar een zekere $\ell \geq \sqrt{2}$ , die moet voldoen aan $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , dus aan $\ell^2 = 2$ . Bijgevolg is $u_n \to \sqrt{2}$ . Dat is het algoritme van Heron, al door de Babyloniërs gebruikt; de convergentie is bijzonder snel ( $u_3$ geeft $\sqrt 2$ al op acht decimalen).

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Bewijs met inductie dat voor alle $n \in \N$ geldt:

1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

Zij $P(n)$ de uitspraak $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ . Basisgeval: voor $n = 0$ zijn beide leden $0$ (lege som). Inductiestap: neem $P(n)$ aan. Dan is

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.

Omdat $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ , is dat $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ , en dat is $P(n+1)$ . Met inductie geldt $P(n)$ dus voor alle $n$ .

Oefening 20.2 ★

Bestudeer de monotonie van de rijen die voor $n \geq 1$ bepaald zijn door

a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ is strikt dalend.

$(b_n)$ heeft positieve termen en $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ is stijgend (strikt vanaf $n \geq 2$ ).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$ , negatief voor $n \leq 4$ en positief voor $n \geq 5$ : $(c_n)$ daalt tot $c_5 = -25$ , haar minimum, en stijgt daarna. Ze is niet monotoon.

Oefening 20.3 ★

Bereken de limieten van de rijen met algemene termen

u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

Haal de overheersende termen buiten haakjes:

u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.

Vermenigvuldig met de toegevoegde uitdrukking:

v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Deel teller en noemer door $3^n$ :

w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,

met $\lim q^n = 0$ voor $\abs{q} < 1$ .

Oefening 20.4 ★

Zij $(u_n)$ de rekenkundige rij met $u_0 = 5$ en verschil $r = 3$ , en $(v_n)$ de meetkundige rij met $v_0 = 8$ en reden $q = \frac{1}{2}$ . Bereken $u_n$ , $v_n$ , $\sum_{k=0}^{n} u_k$ en $\sum_{k=0}^{n} v_k$ , en de limieten van alle vier de uitdrukkingen voor $n \to +\infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ en $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$ . De sommen zijn

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,

\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .

Oefening 20.5 ★★

Bereken met de insluitstelling

\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{en}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},

waarbij $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . Begrens voor de tweede limiet $\frac{n!}{n^n}$ door een term van een meetkundige rij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

Omdat $-1 \leq \cos n \leq 1$ , geldt

\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,

en $\frac{n-1}{n+1} \to 1$ , zodat de limiet met de insluitstelling $1$ is.

Voor de tweede limiet schrijf je

0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n},

want elke factor $\frac{k}{n}$ met $2 \leq k \leq n$ is hoogstens $1$ . Omdat $\frac1n \to 0$ , geeft de insluitstelling $\frac{n!}{n^n} \to 0$ . (De voorgestelde meetkundige begrenzing werkt ook: elke factor met $k \leq n/2$ is hoogstens $\frac12$ , wat de sterkere grens $(1/2)^{\floor{n/2}}$ geeft.)

Oefening 20.6 ★★

Zij $u_0 = 0$ en $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ voor alle $n \in \N$ .

Bewijs met inductie dat $0 \leq u_n \leq 2$ voor alle $n$ .
Toon aan dat $(u_n)$ stijgend is.
Leid af dat $(u_n)$ convergeert en bepaal haar limiet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$ . Is $0 \leq u_n \leq 2$ , dan is $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , dus $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; in het bijzonder is $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Met inductie geldt de eigenschap voor alle $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$ . Voor $x \in \intcc{0}{2}$ geldt $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$ , en dat is waar. Bijgevolg is $(u_n)$ stijgend.

3. Stijgend en naar boven begrensd door $2$ convergeert $(u_n)$ naar een zekere $\ell \in \intcc{0}{2}$ . Overgaan naar de limiet in $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (de afbeelding $x \mapsto \sqrt{x+2}$ is continu) geeft $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , dus $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , dus $\ell \in \{-1, 2\}$ . Omdat $\ell \geq 0$ , is $\lim u_n = 2$ .

Oefening 20.7 ★★

Een patiënt neemt elke ochtend een dosis van $1$ eenheid van een geneesmiddel. Tijdens elke periode van 24 uur verwijdert het lichaam $40\%$ van het aanwezige middel. Zij $u_n$ de hoeveelheid middel in het lichaam vlak na de dosis op dag $n$ , zodat $u_0 = 1$ .

Verantwoord dat $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
Zij $v_n = u_n - 2.5$ . Toon aan dat $(v_n)$ meetkundig is en leid een expliciete formule voor $u_n$ af.
Bepaal de hoeveelheid middel in het lichaam op lange termijn.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

1. Tussen twee dosissen wordt $40\%$ van het middel verwijderd, dus wordt de hoeveelheid $u_n$ herleid tot $0.6\,u_n$ ; de volgende dosis voegt $1$ eenheid toe: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ is meetkundig met reden $0.6$ en eerste term $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ . Bijgevolg is $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ en

u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .

3. Omdat $0.6^n \to 0$ , is $u_n \to 2.5$ : de hoeveelheid middel stabiliseert op $2.5$ eenheden.

Oefening 20.8 ★★

Zij $(u_n)$ bepaald door $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ .

Toon met inductie aan dat $u_n > 1$ voor alle $n \in \N$ .
Toon aan dat $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ een rekenkundige rij bepaalt.
Leid expliciete formules voor $v_n$ en $u_n$ af, en de limiet van $(u_n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$ . Is $u_n > 1$ , dan is $u_n + 2 > 0$ en

u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .

Met inductie is $u_n > 1$ voor alle $n$ (en in het bijzonder is $u_n + 2 \neq 0$ , zodat de rij goed gedefinieerd is).

2. Met de identiteit hierboven:

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .

Dus is $(v_n)$ rekenkundig met verschil $\frac13$ en $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$ .

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$ , dus $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$ . Omdat $v_n \to +\infty$ , is $u_n \to 1$ .

Oefening 20.9 ★★★

Zij voor $n \geq 1$ $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Toon aan dat voor alle $n \geq 1$ geldt: $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
Leid af dat $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ voor alle $k \in \N$ , en besluit dat $H_n \to +\infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ is een som van $n$ termen die elk minstens $\frac{1}{2n}$ zijn; bijgevolg is $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$ .

2. Met inductie op $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$ . Is $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , dan geeft punt 1 met $n = 2^k$ dat

H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.

De rij $(H_n)$ is stijgend (elke stap voegt $\frac{1}{n+1} > 0$ toe) en de deelrij $H_{2^k}$ is onbegrensd, dus is $(H_n)$ niet naar boven begrensd. Stijgend en onbegrensd streeft ze naar $+\infty$ (Stelling 20.18).

Oefening 20.10 ★★★

(Aangrenzende rijen.) Twee rijen $(a_n)$ en $(b_n)$ heten aangrenzend wanneer $(a_n)$ stijgend is, $(b_n)$ dalend, en $b_n - a_n \to 0$ .

Toon aan dat $a_n \leq b_n$ voor alle $n$ . (Tip: bestudeer de monotonie van $(b_n - a_n)$ .)
Toon aan dat aangrenzende rijen allebei convergeren, naar dezelfde limiet.
Toepassing: toon aan dat de rijen $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ en $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) aangrenzend zijn. (Hun gemeenschappelijke limiet is het getal $\eu$ , bestudeerd in Hoofdstuk 23.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

1. De rij $d_n = b_n - a_n$ voldoet aan $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ , dus is $(d_n)$ dalend; omdat $d_n \to 0$ , volgt $d_n \geq 0$ voor alle $n$ (een dalende rij met een negatieve term zou er voor altijd onder blijven, wat de limiet $0$ verhindert). Bijgevolg is $a_n \leq b_n$ .

2. Uit $a_n \leq b_n \leq b_0$ volgt dat de stijgende rij $(a_n)$ naar boven begrensd is, zodat ze naar een zekere $\ell$ convergeert. Net zo convergeert $(b_n)$ , dalend en naar beneden begrensd door $a_0$ , naar een zekere $\ell'$ . Dan is $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$ , dus $\ell = \ell'$ .

3. $(a_n)$ is (strikt) stijgend, want $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . Voor $(b_n)$ :

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,

dus is $(b_n)$ dalend. Ten slotte is $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$ . De twee rijen zijn aangrenzend en convergeren dus naar een gemeenschappelijke limiet.

20.6 Opgave: de rij van Heron, eindelijk berecht

Probleem 20.1

Weekendopgave — inductie bekrachtigt, de monotone convergentie velt het vonnis, en het tweeduizend jaar oude recept voor $\sqrt2$ krijgt eindelijk zijn bewijs (met als toetje het wonderbaarlijke gemiddelde van Gauss)

Drie keer eerder kwam deze reeks het recept van Heron tegen — middel de schatting met $2/\text{schatting}$ — en drie keer kon ze alleen maar vaststellen dat het werkt. Dit hoofdstuk bezit eindelijk de instrumenten van het oordeel: de inductie (Stelling 20.1), de stelling van de monotone convergentie (Stelling 20.18) en limieten van recursies. Het vonnis, en de bewezen snelheid, vormen het hart van deze opgave; eromheen staan de klassieke valkuilen van de inductie, de traagste divergentie van de wiskunde, en de snelste convergentie die Gauss ooit vond.

Deel I — Opwarmen met inductie.

Bewijs met inductie dat $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ (de trap van de oneven getallen, in het onderbouwvolume getekend en nu bekrachtigd).
Bewijs met inductie dat $2^n > n$ voor elke $n \in \N$ .
Bewijs de ongelijkheid van Bernoulli met inductie: voor $x \geq 0$ en $n \in \N$ geldt $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ .
De klassieke valkuil: “alle knikkers hebben dezelfde kleur — waar voor één knikker; en zijn elke $n$ knikkers altijd eenkleurig, dan delen bij $n + 1$ knikkers de eerste $n$ een kleur en de laatste $n$ een kleur, dus alle $n + 1$ .” Elk kind weet dat het besluit onzinnig is: zoek de precieze stap waar de inductie breekt.
Bewijs met inductie dat $4^n - 1$ deelbaar is door $3$ voor elke $n \in \N$ .

Deel II — Het proces tegen Heron. Zij $x_0 = 2$ en $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)$ .

Bereken $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ als exacte breuken (oude bekenden).
Bewijs de sleutelidentiteit

$x_{n+1}^2 - 2 = \left(\frac{x_n^2 - 2}{2x_n}\right)^{\!2} \geq 0,$

en leid met inductie af dat $x_n > 0$ en $x_n^2 > 2$ voor elke $n$ .
Toon aan dat $(x_n)$ strikt dalend is (bereken $x_{n+1} - x_n$ en gebruik vraag 7).
Roep de stelling van de monotone convergentie in: waarom convergeert $(x_n)$ naar een zekere limiet $L \geq 1$ ?
Bepaal de limiet: ga in de recursie over naar de limiet (Propositie 20.14) en besluit dat $L = \sqrt2$ . Formuleer het historische vonnis: na tweeduizend jaar trouwe dienst is bewezen dat het recept van Heron convergeert.
De bewezen snelheid: bewijs met $e_n = x_n - \sqrt2$ dat

$e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2 x_n} ,$

en leid af dat $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ : de fout wordt bij elke stap gekwadrateerd — het verdubbelen van de decimalen dat sinds het onderbouwvolume werd waargenomen, nu een stelling.
Bevestig het met getallen: bereken $e_0, e_1, e_2, e_3$ (uit vraag 6) en ga na dat elke $\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$ dicht bij $\frac{1}{2x_n}$ ligt.

Deel III — De traagste divergentie.

Oefening 20.9 bewees $H_{2^k} \geq 1 + \frac k2$ voor de harmonische sommen. Hoeveel termen waarborgen $H_n > 10$ ? (Een macht van twee volstaat; verbaas je over haar omvang.)
Daartegenover convergeren de meetkundige sommen $1 + \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}$ naar $2$ (Stelling 20.20): de intuïtie van de chocoladereep uit het onderbouwvolume, eindelijk een uitspraak over limieten. Schrijf het bewijs van twee regels uit.
Ertussenin: toon aan dat de sommen $S_n = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$ convergeren, door $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ (voor $k \geq 2$ ) te begrenzen, te telescoperen en de monotone convergentie toe te passen. (De limiet, $\frac{\pi^2}{6}$ , is een van de wonderen van Euler, bewezen in de universitaire volumes.)
Formuleer de moraal van de vragen 13–15 in twee zinnen: wat beslist “de termen streven naar $0$ ” over de convergentie van de sommen — en wat niet?

Deel IV — Het rekenkundig-meetkundig gemiddelde van Gauss. Zij $a_0 = 1$ , $b_0 = 2$ , en

a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} .

Bereken $a_1, b_1, a_2, b_2$ (vijf decimalen). Wat merk je op over de snelheid?
Toon aan dat $a_n \leq b_n$ voor elke $n$ (de ongelijkheid tussen het rekenkundig en het meetkundig gemiddelde, die deze reeks door en door kent), dat $(a_n)$ stijgt en dat $(b_n)$ daalt.
Toon aan dat $b_{n+1} - a_{n+1} \leq \frac{b_n - a_n}{2}$ (ontbind $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2}$ en vergelijk), en besluit met Oefening 20.10 dat de twee rijen aangrenzend zijn: ze delen een gemeenschappelijke limiet $M(1, 2)$ , het rekenkundig-meetkundig gemiddelde.
Bereken $M(1, 2)$ op zes decimalen (hoeveel iteraties had je nodig?). Op 30 mei 1799 berekende Gauss $M(1, \sqrt2)$ op elf decimalen, herkende $\frac{\pi}{M(1,\sqrt2)}$ als een bekende integraal, en schreef dat er “een nieuw veld van de analyse” was opengegaan — en dat was ook zo: de elliptische integralen, verteld in de universitaire volumes. Sluit af met de waargenomen convergentiesnelheden uit deze opgave, van de traagste naar de snelste.

Oplossing

Oplossing van Probleem 20.1.

1. Waar voor $n = 1$ ( $1 = 1^2$ ). Is $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$ , dan geeft het volgende oneven getal erbij optellen: $n^2 + (2n + 1) = (n + 1)^2$ : de erfelijkheid. Met inductie is de uitspraak waar voor alle $n \geq 1$ .

2. $2^0 = 1 > 0$ . Is $2^n > n$ , dan is $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n \geq n + 1$ voor $n \geq 1$ (en $n = 0$ klopt rechtstreeks): erfelijkheid, klaar.

3. $n = 0$ : $1 \geq 1$ . Is $(1 + x)^n \geq 1 + nx$ , vermenigvuldig dan met $1 + x \geq 1 > 0$ : $(1 + x)^{n+1} \geq (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx^2 \geq 1 + (n + 1)x$ .

4. De stap van $n = 1$ naar $n = 2$ : bij twee knikkers zijn “de eerste $n$ ” en “de laatste $n$ ” twee disjuncte losse knikkers — geen enkele gemeenschappelijke knikker overbrugt de twee groepen, dus dwingt niets hun kleuren om overeen te stemmen. Het erfelijkheidsargument vraagt stilzwijgend dat de twee groepen overlappen, en dat geldt pas vanaf $n \geq 2$ ; met het basisgeval $n = 1$ komt de ketting nooit op gang.

5. $4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0$ . Is $4^n - 1 = 3k$ , dan is $4^{n+1} - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 3(4k + 1)$ : erfelijkheid.

6. $x_1 = \frac32$ , $x_2 = \frac{17}{12}$ , $x_3 = \frac{577}{408}$ .

7. $x_{n+1}^2 - 2 = \frac{(x_n^2 + 2)^2 - 8x_n^2}{4x_n^2} = \frac{(x_n^2 - 2)^2}{4 x_n^2}$ : een kwadraat gedeeld door iets positiefs, dus $\geq 0$ , en $> 0$ zodra $x_n^2 \neq 2$ . Inductie: $x_0 = 2 > 0$ met $x_0^2 = 4 > 2$ ; en is $x_n > 0$ met $x_n^2 > 2$ , dan is $x_{n+1}$ (een gemiddelde van positieve getallen) positief en $x_{n+1}^2 - 2 > 0$ .

8. $x_{n+1} - x_n = \frac{2 - x_n^2}{2x_n} < 0$ volgens vraag 7: strikt dalend.

9. Dalend en naar beneden begrensd (door $1$ , want $x_n^2 > 2 > 1$ en $x_n > 0$ ): volgens de stelling van de monotone convergentie convergeert $(x_n)$ naar een zekere $L \geq 1$ .

10. Limieten respecteren de algebra: uit $x_{n+1} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$ en $x_n \to L \geq 1 > 0$ volgt $L = \frac12\left(L + \frac2L\right)$ , dus $L^2 = 2$ , en omdat $L$ positief is, $L = \sqrt2$ . Vonnis: convergentie bewezen, limiet bepaald — Heron met lof vrijgesproken.

11. $x_{n+1} - \sqrt2 = \frac{x_n^2 - 2\sqrt2\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{(x_n - \sqrt2)^2}{2x_n}$ : precies $e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2x_n}$ , en $x_n > \sqrt2$ geeft $e_{n+1} \leq \frac{e_n^2}{2\sqrt2}$ . Gekwadrateerde fout: elke stap verdubbelt het aantal juiste decimalen, zoals sinds jaar 9 waargenomen.

12. $e_0 \approx 0.5858$ , $e_1 \approx 0.0858$ , $e_2 \approx 0.00245$ , $e_3 \approx 2.1 \times 10^{-6}$ . Verhoudingen: $\frac{e_1}{e_0^2} \approx 0.25 = \frac{1}{2x_0}$ ; $\frac{e_2}{e_1^2} \approx 0.333 = \frac{1}{2x_1}$ ; $\frac{e_3}{e_2^2} \approx 0.353 \approx \frac{1}{2x_2}$ : de stelling aan het werk.

13. $H_{2^{18}} \geq 1 + 9 = 10$ : ongeveer $260\,000$ termen ( $2^{18} = 262\,144$ ) om alleen al $10$ te passeren — divergentie in slakkengang (en $H_n > 100$ zou meer termen vragen dan er atomen in eender welke bibliotheek zitten).

14. $S_n = 2 - \frac{1}{2^n}$ (meetkundige som), en $\frac{1}{2^n} \to 0$ (Stelling 20.20), dus $S_n \to 2$ : de eindeloos afgebeten chocoladereep streeft naar het geheel zonder het ooit te bereiken — nu in de officiële taal van de limieten.

15. Voor $k \geq 2$ is $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac1k$ , dus $S_n \leq 1 + \left(1 - \frac1n\right) < 2$ : stijgend en naar boven begrensd, dus convergent (monotone convergentie). Euler doopte de limiet later: $\frac{\pi^2}{6}$ .

16. Dat de termen naar $0$ streven is noodzakelijk opdat de sommen tot rust zouden komen, maar het beslist niets: de harmonische termen $\frac1n \to 0$ en toch ontploffen de sommen; de termen $\frac{1}{n^2} \to 0$ en de sommen convergeren. Hoe snel de termen uitsterven is de hele vraag — de theorie van de reeksen, opgebouwd in de universitaire volumes.

17. $a_1 = \sqrt2 \approx 1.41421$ , $b_1 = 1.5$ ; $a_2 \approx 1.45648$ , $b_2 \approx 1.45711$ : na twee iteraties stemmen ze al op drie decimalen overeen — duizelingwekkende snelheid.

18. $b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2} - \sqrt{a_n b_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2}{2} \geq 0$ : de gemiddelden blijven geordend. $(a_n)$ stijgt: $a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \geq \sqrt{a_n \cdot a_n} = a_n$ ; $(b_n)$ daalt symmetrisch.

19. $\frac{b_{n+1} - a_{n+1}}{b_n - a_n} = \frac{(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})^2} {2(\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n})(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} = \frac{\sqrt{b_n} - \sqrt{a_n}}{2(\sqrt{b_n} + \sqrt{a_n})} \leq \frac12$ : de kloof halveert minstens, dus $b_n - a_n \to 0$ ; samen met vraag 18 zijn de rijen aangrenzend en delen ze een limiet $M(1, 2)$ .

20. De derde iteratie geeft $a_3 \approx b_3 \approx 1.456791$ : dus $M(1, 2) \approx 1.456791$ na drie slagen aan de zwengel (de kloof wordt ruwweg gekwadrateerd, net als bij Heron). Rangschikking van de snelheden in deze opgave, van traagst naar snelst: de harmonische sommen (divergentie op gletsjertempo), de meetkundige sommen (de fout halveert elke stap), Heron en het rekenkundig-meetkundig gemiddelde (de fout wordt elke stap gekwadrateerd) — en het was die onaardse snelheid die Gauss vertelde dat hij een nieuwe ader in de analyse had aangeboord.

Elke niet-lege deelverzameling van $\N$ heeft een kleinste element; die eigenschap van $\N$ nemen we als axioma. ↩

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst