Wiskunde bovenbouw · Grades 10–12

20Rijen

Een rij is een lijst reële getallen geïndexeerd door de natuurlijke getallen. Rijen modelleren discrete evoluties — populaties jaar na jaar geteld, saldi van een bankrekening, opeenvolgende benaderingen van een getal — en hun limieten zijn de eerste serieuze ontmoeting met het oneindige. Dit hoofdstuk zet de woordenschat, het inductieprincipe en de fundamentele convergentie-stellingen op.

20.1 Redeneren door inductie

Stelling 20.1 (Inductieprincipe)

Laat $P(n)$ een uitspraak zijn die van een geheel getal $n$ afhangt, en laat $n_0 \in \N$ . Als

(basisstap) $P(n_0)$ waar is, en
(inductiestap) voor elke $n \geq n_0$ , $P(n)$ impliceert $P(n+1)$ ,

dan is $P(n)$ waar voor elke $n \geq n_0$ .

Bewijs. Stel, uit het ongerijmde, dat de verzameling $A$ van gehele getallen $n \geq n_0$ waarvoor $P(n)$ onwaar is, niet-leeg is. Dan heeft $A$ een kleinste element $m$ .¹ Omdat $P(n_0)$ waar is, is $m > n_0$ , dus $m - 1 \geq n_0$ en $m-1 \notin A$ , d.w.z. $P(m-1)$ is waar. De inductiestap toegepast op $n = m-1$ toont dan dat $P(m)$ waar is, in strijd met $m \in A$ . ∎

Voorbeeld 20.2

Laten we de ongelijkheid van Bernoulli bewijzen: voor elke reële $a > 0$ en elke $n \in \N$ ,

(1+a)^n \geq 1 + na.

Basisstap. Voor $n = 0$ zijn beide kanten $1$ . Inductiestap. Stel $(1+a)^n \geq 1+na$ voor zekere $n \in \N$ . Omdat $1 + a > 0$ , behoudt vermenigvuldigen van beide kanten met $1+a$ de ongelijkheid:

(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a .

Door inductie geldt de ongelijkheid voor alle $n \in \N$ .

Methode 20.3 (Een inductiebewijs schrijven)

Maak de uitspraak $P(n)$ altijd expliciet vóór je begint. Een volledig bewijs heeft drie zichtbare delen: de basisstap, de inductiestap (“neem $P(n)$ aan; we bewijzen $P(n+1)$ ”), en de conclusie die het inductieprincipe inroept. De meest voorkomende fout is de inductiestap te bewijzen zonder ooit de hypothese $P(n)$ te gebruiken: als dat gebeurt, is het bewijs ofwel fout of inductie was niet nodig.

20.2 Woordenschat van rijen

Definitie 20.4 (Rij)

Een rij is een functie $u \colon \N \to \R$ (of van $\{n \in \N : n \geq n_0\}$ naar $\R$ ). Het beeld van $n$ wordt genoteerd $u_n$ , en de rij zelf $(u_n)_{n\in\N}$ of eenvoudig $(u_n)$ .

Een rij kan expliciet gedefinieerd worden, door een formule $u_n = f(n)$ , of door recurrentie, door haar eerste term en een relatie $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Definitie 20.5 (Monotonie)

Een rij $(u_n)$ is stijgend als $u_{n+1} \geq u_n$ voor alle $n$ , dalend als $u_{n+1} \leq u_n$ voor alle $n$ , en monotoon als ze stijgend of dalend is. Ze is strikt stijgend (resp. dalend) wanneer de ongelijkheden strikt zijn.

Methode 20.6 (De monotonie van een rij bestuderen)

Drie standaardtechnieken:

bestudeer het teken van $u_{n+1} - u_n$ ;
als alle termen positief zijn, vergelijk $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ met $1$ ;
als $u_n = f(n)$ met $f$ gedefinieerd op $\intco{0}{+\infty}$ , gebruik de variaties van $f$ .

Definitie 20.7 (Begrensde rij)

Een rij $(u_n)$ is van boven begrensd als er een $M \in \R$ bestaat met $u_n \leq M$ voor alle $n$ ; van onder begrensd als er een $m \in \R$ bestaat met $u_n \geq m$ voor alle $n$ ; en begrensd als beide gelden.

20.2.1 Rekenkundige en meetkundige rijen

Definitie 20.8 (Rekenkundige en meetkundige rijen)

Een rij $(u_n)$ is rekenkundig met gemeenschappelijk verschil $r$ als $u_{n+1} = u_n + r$ voor alle $n$ , en meetkundig met gemeenschappelijke verhouding $q$ als $u_{n+1} = q\,u_n$ voor alle $n$ .

Propositie 20.9 (Expliciete vorm en sommen)

Laat $n \in \N$ .

Als $(u_n)$ rekenkundig is met gemeenschappelijk verschil $r$ , dan $u_n = u_0 + nr$ en

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}.$
Als $(u_n)$ meetkundig is met gemeenschappelijke verhouding $q \neq 1$ , dan $u_n = u_0\, q^n$ en

$u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0\,\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$

Bewijs. De expliciete vormen volgen door onmiddellijke inducties. Voor de rekenkundige som, schrijf $S = u_0 + \dots + u_n$ en tel dezelfde som in omgekeerde volgorde op: elk van de $n+1$ kolomsommen is gelijk aan $u_0 + u_n$ , dus $2S = (n+1)(u_0+u_n)$ . Voor de meetkundige som, bereken $S - qS$ : alle termen vallen paarsgewijs weg behalve de eerste en de laatste, dus $(1-q)S = u_0(1 - q^{n+1})$ . ∎

20.3 Limiet van een rij

Definitie 20.10 (Convergente rij)

Een rij $(u_n)$ convergeert naar het reële getal $\ell$ als elk open interval dat $\ell$ bevat, alle termen $u_n$ vanaf zekere index bevat. We schrijven dan $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Equivalent: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er $N \in \N$ zodat voor alle $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergentie van u_n = 2 + (-1)n/n naar = 2: gegeven > 0, liggen alle termen vanaf index N in de band [ - , + ]. — Convergentie van $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ naar $\ell = 2$ : gegeven $\varepsilon > 0$ , liggen alle termen vanaf index $N$ in de band $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Definitie 20.11 (Divergentie naar oneindig)

De rij $(u_n)$ neigt naar $+\infty$ als voor elke $A \in \R$ er een $N \in \N$ bestaat zodat $u_n \geq A$ voor alle $n \geq N$ . We schrijven $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ ; de definitie van $\lim u_n = -\infty$ is analoog. Een rij die niet convergeert noemt men divergent.

Opmerking 20.12

Een rij kan divergeren zonder naar $\pm\infty$ te neigen: de rij $u_n = (-1)^n$ neemt alleen de waarden $1$ en $-1$ aan en heeft geen limiet.

Propositie 20.13 (Uniciteit van de limiet)

Als $(u_n)$ convergeert, is haar limiet uniek.

Bewijs. Stel $u_n \to \ell$ en $u_n \to \ell'$ met $\ell \neq \ell'$ , zeg $\ell < \ell'$ . Stel $\varepsilon = \frac{\ell' - \ell}{3} > 0$ . Vanaf zekere index is $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ en $\abs{u_n - \ell'} \leq \varepsilon$ , dus

\ell' - \ell \leq \abs{\ell' - u_n} + \abs{u_n - \ell} \leq 2\varepsilon = \tfrac{2}{3}(\ell' - \ell) < \ell' - \ell,

een tegenspraak. ∎

Propositie 20.14 (Bewerkingen op limieten)

Laat $(u_n)$ en $(v_n)$ rijen zijn met limieten $\ell$ en $\ell'$ (eindig of oneindig). Dan, wanneer het rechterlid geen onbepaalde vorm is,

\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell', \qquad \lim (u_n v_n) = \ell\,\ell', \qquad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}.

De onbepaalde vormen zijn $(+\infty) + (-\infty)$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ en $\frac{0}{0}$ .

Bewijs. We bewijzen de somregel voor eindige limieten; de andere gevallen zijn analoog en als oefening gelaten. Laat $\varepsilon > 0$ . Er bestaan $N_1, N_2$ zodat $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon/2$ voor $n \geq N_1$ en $\abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon/2$ voor $n \geq N_2$ . Voor $n \geq \max(N_1, N_2)$ geeft de driehoeksongelijkheid

\abs{(u_n + v_n) - (\ell + \ell')} \leq \abs{u_n - \ell} + \abs{v_n - \ell'} \leq \varepsilon. \qedhere

∎

Methode 20.15 (Een onbepaalde vorm opheffen)

Bij een onbepaalde vorm, factoriseer de dominante term. Bijvoorbeeld

n^2 - n = n^2\left(1 - \tfrac{1}{n}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty, \qquad \frac{2n^2+1}{n^2 - n} = \frac{2 + 1/n^2}{1 - 1/n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2 .

20.4 Convergentie-stellingen

Stelling 20.16 (Vergelijkings- en insluitstelling)

Laat $(u_n)$ , $(v_n)$ , $(w_n)$ rijen zijn.

Als $u_n \leq v_n$ vanaf zekere index en $u_n \to +\infty$ , dan $v_n \to +\infty$ .
(Insluitstelling) Als $u_n \leq v_n \leq w_n$ vanaf zekere index en $(u_n)$ en $(w_n)$ beide naar dezelfde limiet $\ell$ convergeren, dan convergeert $(v_n)$ naar $\ell$ .

Bewijs. 1. Laat $A \in \R$ . Omdat $u_n \to +\infty$ , is er $N$ met $u_n \geq A$ voor $n \geq N$ ; $N$ zo nodig vergrotend, $v_n \geq u_n \geq A$ voor $n \geq N$ .

2. Laat $\varepsilon > 0$ . Vanaf zekere index gelden zowel $\ell - \varepsilon \leq u_n$ als $w_n \leq \ell + \varepsilon$ , dus $\ell - \varepsilon \leq u_n \leq v_n \leq w_n \leq \ell + \varepsilon$ , d.w.z. $\abs{v_n - \ell} \leq \varepsilon$ . ∎

Voorbeeld 20.17

Voor alle $n \geq 1$ , $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ , en beide grenzen neigen naar $0$ ; dus $\frac{(-1)^n}{n} \to 0$ .

Stelling 20.18 (Monotone-convergentie-stelling)

Een stijgende rij die van boven begrensd is, convergeert. Een dalende rij die van onder begrensd is, convergeert. Een stijgende rij die niet van boven begrensd is, neigt naar $+\infty$ .

Gedeeltelijk bewijs. We bewijzen de derde uitspraak. Laat $(u_n)$ stijgend en niet van boven begrensd zijn, en laat $A \in \R$ . Omdat $A$ geen bovengrens is, bestaat er $N$ met $u_N \geq A$ ; door monotonie is $u_n \geq u_N \geq A$ voor alle $n \geq N$ . Dus $u_n \to +\infty$ .

De twee convergentie-uitspraken steunen op de kleinste-bovengrens-eigenschap van $\R$ ; ze zijn toegegeven op dit niveau (en bewezen in het eerste universiteitsjaar). ∎

Opmerking 20.19

De stelling garandeert het bestaan van de limiet maar geeft haar waarde niet. Een stijgende rij van boven begrensd door $M$ convergeert naar zekere $\ell \leq M$ , niet noodzakelijk naar $M$ .

Stelling 20.20 (Limiet van meetkundige rijen)

Laat $q \in \R$ .

Als $q > 1$ , dan $q^n \to +\infty$ .
Als $q = 1$ , dan $q^n \to 1$ .
Als $\abs{q} < 1$ , dan $q^n \to 0$ .
Als $q \leq -1$ , dan divergeert $(q^n)$ en heeft geen limiet.

Bewijs. 1. Schrijf $q = 1 + a$ met $a > 0$ . De ongelijkheid van Bernoulli (Voorbeeld 20.2) geeft $q^n \geq 1 + na \to +\infty$ , en we concluderen door vergelijking (Stelling 20.16).

2. Onmiddellijk.

3. Als $q = 0$ is de claim duidelijk. Anders geeft $\abs{q} < 1$ dat $1/\abs{q} > 1$ , dus $(1/\abs{q})^n \to +\infty$ volgens punt 1, dus $\abs{q}^n \to 0$ , en $-\abs{q}^n \leq q^n \leq \abs{q}^n$ laat ons concluderen via de insluitstelling.

4. Voor $q \leq -1$ neemt $(q^{2n})$ waarden $\geq 1$ aan terwijl $(q^{2n+1})$ waarden $\leq -1$ aanneemt: geen enkele limiet kan beide deelrijen aantrekken. ∎

De drie gedragingen van (qn): divergentie naar +∈fty voor q > 1 (rood), convergentie naar 0 voor q < 1 (blauw), en gedempte oscillatie — nog steeds convergentie naar 0 — voor -1 < q < 0 (oranje). — De drie gedragingen van $(q^n)$ : divergentie naar $+\infty$ voor $q > 1$ (rood), convergentie naar $0$ voor $\abs q < 1$ (blauw), en gedempte oscillatie — nog steeds convergentie naar $0$ — voor $-1 < q < 0$ (oranje).

Methode 20.21 (Recurrente rijen $u_{n+1} = f(u_n)$ )

Om een rij gedefinieerd door $u_{n+1} = f(u_n)$ te bestuderen:

bewijs door inductie dat $(u_n)$ in een interval $I$ blijft waarop $f$ zich goed gedraagt (en vaak dat $(u_n)$ monotoon is);
leid convergentie af uit de monotone-convergentie-stelling;
ga naar de limiet in de relatie $u_{n+1} = f(u_n)$ : als $f$ continu is en $u_n \to \ell \in I$ , dan voldoet $\ell$ aan $f(\ell) = \ell$ (zie Hoofdstuk 21); los deze vergelijking op en selecteer de juiste wortel.

Trapconstructie voor u_n+1 = √u_n + 2, u_0 = 0 (): elke verticale stap leest f(u_n) op de kromme, elke horizontale stap brengt die terug via y = x. De rij klimt naar het vastpunt = 2, waar de kromme de lijn ontmoet. — Trapconstructie voor $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ , $u_0 = 0$ (Oefening 20.6): elke verticale stap leest $f(u_n)$ op de kromme, elke horizontale stap brengt die terug via $y = x$ . De rij klimt naar het vastpunt $\ell = 2$ , waar de kromme de lijn ontmoet.

Voorbeeld 20.22

Laat $u_0 = 2$ en $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Men controleert door inductie dat $u_n \geq \sqrt{2}$ voor alle $n$ (de ongelijkheid $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ voor $x>0$ is equivalent met $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), daarna dat $(u_n)$ dalend is, omdat

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Dalend en van onder begrensd, convergeert $(u_n)$ naar zekere $\ell \geq \sqrt{2}$ , die moet voldoen aan $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , d.w.z. $\ell^2 = 2$ . Dus $u_n \to \sqrt{2}$ . Dit is het algoritme van Heron, al door de Babyloniërs gebruikt; de convergentie is extreem snel ( $u_3$ geeft al $\sqrt 2$ tot acht decimalen).

20.5 Oefeningen

Oefening 20.1 ★

Bewijs door inductie dat voor alle $n \in \N$ ,

1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.1.

Laat $P(n)$ de uitspraak $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ zijn. Basisstap: voor $n = 0$ zijn beide kanten $0$ (lege som). Inductiestap: neem $P(n)$ aan. Dan

\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 = \frac{(n+1)\bigl(n(2n+1) + 6(n+1)\bigr)}{6} = \frac{(n+1)(2n^2 + 7n + 6)}{6}.

Omdat $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ , is dit $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ , wat $P(n+1)$ is. Door inductie geldt $P(n)$ voor alle $n$ .

Oefening 20.2 ★

Bestudeer de monotonie van de rijen gedefinieerd voor $n \geq 1$ door

a_n = \frac{n+1}{n}, \qquad b_n = \frac{2^n}{n}, \qquad c_n = n^2 - 10n .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$ : $(a_n)$ is strikt dalend.

$(b_n)$ heeft positieve termen en $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$ : $(b_n)$ is stijgend (strikt voor $n \geq 2$ ).

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$ , wat negatief is voor $n \leq 4$ en positief voor $n \geq 5$ : $(c_n)$ daalt tot $c_5 = -25$ , haar minimum, en stijgt daarna. Ze is niet monotoon.

Oefening 20.3 ★

Bereken de limieten van de rijen met algemene termen

u_n = \frac{3n^2 - n + 1}{2n^2 + 5}, \qquad v_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}, \qquad w_n = \frac{2^n - 3^n}{3^n + 1}.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.3.

Factoriseer dominante termen:

u_n = \frac{n^2(3 - 1/n + 1/n^2)}{n^2(2 + 5/n^2)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3}{2}.

Vermenigvuldig met de toegevoegde:

v_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.

Deel teller en noemer door $3^n$ :

w_n = \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (1/3)^n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{0-1}{1+0} = -1,

met $\lim q^n = 0$ voor $\abs{q} < 1$ .

Oefening 20.4 ★

Laat $(u_n)$ de rekenkundige rij zijn met $u_0 = 5$ en gemeenschappelijk verschil $r = 3$ , en $(v_n)$ de meetkundige rij met $v_0 = 8$ en gemeenschappelijke verhouding $q = \frac{1}{2}$ . Bereken $u_n$ , $v_n$ , $\sum_{k=0}^{n} u_k$ en $\sum_{k=0}^{n} v_k$ , en de limieten van alle vier uitdrukkingen als $n \to +\infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ en $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$ . De sommen zijn

\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\frac{5 + (5+3n)}{2} = \frac{(n+1)(10+3n)}{2} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty,

\sum_{k=0}^{n} v_k = 8\,\frac{1 - (1/2)^{n+1}}{1 - 1/2} = 16\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right) \xrightarrow[n\to+\infty]{} 16 .

Oefening 20.5 ★★

Bereken met de insluitstelling

\lim_{n\to+\infty} \frac{n + \cos n}{n + 1} \qquad\text{en}\qquad \lim_{n\to+\infty} \frac{n!}{n^n},

waar $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ . Voor de tweede limiet, begrens $\frac{n!}{n^n}$ door een term van een meetkundige rij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.5.

Omdat $-1 \leq \cos n \leq 1$ ,

\frac{n-1}{n+1} \leq \frac{n + \cos n}{n+1} \leq 1,

en $\frac{n-1}{n+1} \to 1$ , dus de limiet is $1$ door de insluitstelling.

Voor de tweede limiet, schrijf

0 \leq \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n}\cdots\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n},

omdat elke factor $\frac{k}{n}$ met $2 \leq k \leq n$ ten hoogste $1$ is. Omdat $\frac1n \to 0$ , geeft de insluitstelling $\frac{n!}{n^n} \to 0$ . (De gesuggereerde meetkundige grens werkt ook: elke factor met $k \leq n/2$ is ten hoogste $\frac12$ , wat de sterkere grens $(1/2)^{\floor{n/2}}$ geeft.)

Oefening 20.6 ★★

Laat $u_0 = 0$ en $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ voor alle $n \in \N$ .

Bewijs door inductie dat $0 \leq u_n \leq 2$ voor alle $n$ .
Toon aan dat $(u_n)$ stijgend is.
Leid af dat $(u_n)$ convergeert en bepaal haar limiet.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$ . Als $0 \leq u_n \leq 2$ , dan $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ , dus $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$ ; in het bijzonder $0 \leq u_{n+1} \leq 2$ . Door inductie geldt de eigenschap voor alle $n$ .

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$ . Voor $x \in \intcc{0}{2}$ , $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$ , wat waar is. Dus is $(u_n)$ stijgend.

3. Stijgend en van boven begrensd door $2$ , convergeert $(u_n)$ naar zekere $\ell \in \intcc{0}{2}$ . Naar de limiet gaan in $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ (de afbeelding $x \mapsto \sqrt{x+2}$ is continu) geeft $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , dus $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , d.w.z. $\ell \in \{-1, 2\}$ . Omdat $\ell \geq 0$ , is $\lim u_n = 2$ .

Oefening 20.7 ★★

Een patiënt neemt elke ochtend een dosis van $1$ eenheid van een medicijn. In elke periode van $24$ uur elimineert het lichaam $40\%$ van het aanwezige medicijn. Laat $u_n$ de hoeveelheid medicijn in het lichaam zijn vlak na de dosis op dag $n$ , zodat $u_0 = 1$ .

Rechtvaardig dat $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .
Laat $v_n = u_n - 2.5$ . Toon aan dat $(v_n)$ meetkundig is en leid een expliciete formule voor $u_n$ af.
Bepaal de lange-termijn-hoeveelheid medicijn in het lichaam.

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.7.

1. Tussen twee doses wordt $40\%$ van het medicijn geëlimineerd, dus wordt de hoeveelheid $u_n$ tot $0.6\,u_n$ ; de volgende dosis voegt $1$ eenheid toe: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$ .

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$ : $(v_n)$ is meetkundig met verhouding $0.6$ en eerste term $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ . Dus $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ en

u_n = 2.5 - 1.5 \times 0.6^n .

3. Omdat $0.6^n \to 0$ , $u_n \to 2.5$ : de hoeveelheid medicijn stabiliseert op $2.5$ eenheden.

Oefening 20.8 ★★

Laat $(u_n)$ gedefinieerd zijn door $u_0 = 3$ en $u_{n+1} = \frac{4u_n - 1}{u_n + 2}$ .

Toon door inductie aan dat $u_n > 1$ voor alle $n \in \N$ .
Toon aan dat $v_n = \dfrac{1}{u_n - 1}$ een rekenkundige rij definieert.
Leid expliciete formules af voor $v_n$ en $u_n$ , en de limiet van $(u_n)$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$ . Als $u_n > 1$ , dan $u_n + 2 > 0$ en

u_{n+1} - 1 = \frac{4u_n - 1 - u_n - 2}{u_n + 2} = \frac{3(u_n - 1)}{u_n + 2} > 0 .

Door inductie is $u_n > 1$ voor alle $n$ (en in het bijzonder $u_n + 2 \neq 0$ , dus de rij is welgedefinieerd).

2. Met de identiteit hierboven,

v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1} - 1} = \frac{u_n + 2}{3(u_n - 1)} = \frac{(u_n - 1) + 3}{3(u_n - 1)} = \frac{1}{3} + v_n .

Dus is $(v_n)$ rekenkundig met gemeenschappelijk verschil $\frac13$ en $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$ .

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$ , dus $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$ . Omdat $v_n \to +\infty$ , is $u_n \to 1$ .

Oefening 20.9 ★★★

Voor $n \geq 1$ , laat $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ .

Toon aan dat voor alle $n \geq 1$ , $H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2}$ .
Leid af dat $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ voor alle $k \in \N$ , en concludeer dat $H_n \to +\infty$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ is een som van $n$ termen, elk minstens $\frac{1}{2n}$ ; dus $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$ .

2. Door inductie op $k$ : $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$ . Als $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , dan met punt 1 met $n = 2^k$ ,

H_{2^{k+1}} \geq H_{2^k} + \frac12 \geq 1 + \frac{k+1}{2}.

De rij $(H_n)$ is stijgend (elke stap voegt $\frac{1}{n+1} > 0$ toe) en de deelrij $H_{2^k}$ is onbegrensd, dus is $(H_n)$ niet van boven begrensd. Stijgend en onbegrensd, neigt ze naar $+\infty$ (Stelling 20.18).

Oefening 20.10 ★★★

(Aangrenzende rijen.) Twee rijen $(a_n)$ en $(b_n)$ zijn aangrenzend als $(a_n)$ stijgend is, $(b_n)$ dalend is, en $b_n - a_n \to 0$ .

Toon aan dat voor alle $n$ , $a_n \leq b_n$ . (Hint: bestudeer de monotonie van $(b_n - a_n)$ .)
Toon aan dat aangrenzende rijen beide convergeren, naar dezelfde limiet.
Toepassing: toon aan dat de rijen $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}$ en $b_n = a_n + \frac{1}{n \cdot n!}$ ( $n \geq 1$ ) aangrenzend zijn. (Hun gemeenschappelijke limiet is het getal $\eu$ , bestudeerd in Hoofdstuk 23.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 20.10.

1. De rij $d_n = b_n - a_n$ voldoet aan $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ , dus is $(d_n)$ dalend; omdat $d_n \to 0$ , krijgen we $d_n \geq 0$ voor alle $n$ (een dalende rij met een negatieve term zou er voor altijd onder blijven, wat limiet $0$ verhindert). Dus $a_n \leq b_n$ .

2. Uit $a_n \leq b_n \leq b_0$ is de stijgende rij $(a_n)$ van boven begrensd, dus convergeert ze naar zekere $\ell$ . Evenzo convergeert $(b_n)$ , dalend en van onder begrensd door $a_0$ , naar zekere $\ell'$ . Dan $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$ , dus $\ell = \ell'$ .

3. $(a_n)$ is (strikt) stijgend omdat $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$ . Voor $(b_n)$ ,

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\,n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 ,

dus is $(b_n)$ dalend. Ten slotte $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$ . De twee rijen zijn aangrenzend, dus convergeren ze naar een gemeenschappelijke limiet.

Elke niet-lege deelverzameling van $\N$ heeft een kleinste element; deze eigenschap van $\N$ wordt als axioma genomen. ↩