Wat is Convergente rij? — Wiskunde

Definitie 20.10 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 20 — Rijen

Een rij $(u_n)$ convergeert naar het reële getal $\ell$ wanneer elk open interval dat $\ell$ bevat, vanaf een zekere index alle termen $u_n$ bevat. We schrijven dan $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Gelijkwaardig: voor elke $\varepsilon > 0$ bestaat er een $N \in \N$ zodat $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ voor alle $n \geq N$ .

Convergentie van u_n = 2 + (-1)n/n naar = 2: bij gegeven > 0 liggen alle termen vanaf de index N in de band [ - , + ]. — Convergentie van $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ naar $\ell = 2$ : bij gegeven $\varepsilon > 0$ liggen alle termen vanaf de index $N$ in de band $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 20.22

Zij $u_0 = 2$ en $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Met inductie ga je na dat $u_n \geq \sqrt{2}$ voor alle $n$ (de ongelijkheid $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ voor $x>0$ is gelijkwaardig met $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), en daarna dat $(u_n)$ dalend is, want

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Dalend en naar beneden begrensd convergeert $(u_n)$ naar een zekere $\ell \geq \sqrt{2}$ , die moet voldoen aan $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , dus aan $\ell^2 = 2$ . Bijgevolg is $u_n \to \sqrt{2}$ . Dat is het algoritme van Heron, al door de Babyloniërs gebruikt; de convergentie is bijzonder snel ( $u_3$ geeft $\sqrt 2$ al op acht decimalen).

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen