Wat is Stijgend, dalend? — Wiskunde

Definitie 3.8 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 3 — Functies

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ .

$f$ is stijgend op $I$ wanneer voor alle $u, v \in I$ uit $u < v$ volgt dat $f(u) \leq f(v)$ : de uitvoer groeit mee met de invoer, en de grafiek klimt van links naar rechts.
$f$ is dalend op $I$ wanneer uit $u < v$ volgt dat $f(u) \geq f(v)$ : de grafiek zakt van links naar rechts.

Met strikte ongelijkheden $f(u) < f(v)$ (respectievelijk $>$ ) spreken we van strikt stijgend (respectievelijk dalend).

Voorbeelden

Voorbeeld 3.10

Bekijk de functie waarvan de grafiek hieronder op $\intcc{-2}{4}$ getekend staat.

Een functie gedefinieerd op [-2, 4], eerst stijgend, dan dalend. — Een functie gedefinieerd op $\intcc{-2}{4}$ , eerst stijgend, dan dalend.

Van de grafiek af te lezen: $f$ stijgt van $f(-2) = -1.5$ tot haar maximum $f(1) = 3$ , en daalt daarna tot $f(4) = -1.5$ . Haar verlooptabel is

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Voorbeeld 3.11 (Een verloop bewijzen)

Toon aan dat $f(x) = 3x + 1$ strikt stijgend is op $\R$ . Neem willekeurige $u < v$ en vergelijk de beelden:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

want $v - u > 0$ . Dus $f(u) < f(v)$ : de functie is strikt stijgend. Dezelfde berekening met een negatieve richtingscoëfficiënt, bijvoorbeeld $g(x) = -2x + 5$ , geeft $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : strikt dalend.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 11.4 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 11 — Functies en hun verloop

Zij $f$ gedefinieerd op een interval $I$ . De functie $f$ heet stijgend op $I$ wanneer ze de orde behoudt:

\text{voor alle } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

en dalend wanneer ze de orde omkeert ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Met strikte ongelijkheden rechts heet $f$ strikt stijgend (respectievelijk dalend). Een functie die op $I$ stijgend of dalend is, heet monotoon op $I$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 11.10

Bestudeer $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ op $\R$ . De binnenfunctie $u(x) = x^2 + 1$ is positief, dalend op $\intoc{-\infty}{0}$ en stijgend op $\intco{0}{+\infty}$ (een verschoven kwadraat). Volgens punt 3 heeft $f$ hetzelfde verloop: eerst dalend, dan stijgend, met minimum $f(0) = 1$ .

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen