O que é ação de grupo? — Matemática

Definição 1.8 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 1 — Teoria dos grupos

Uma ação de $G$ sobre um conjunto $X$ é um morfismo $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ no grupo das bijeções de $X$ ; escreve-se $g \cdot x$ em lugar de $\varphi(g)(x)$ . De maneira equivalente: uma aplicação $G \times X \to X$ com $e \cdot x = x$ e $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . A órbita de $x$ é $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ , seu estabilizador é o subgrupo $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ , e $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ é o conjunto dos pontos fixos. A ação é transitiva se há exatamente uma órbita, fiel se $\varphi$ é injetor, livre se todos os estabilizadores são triviais.

Exemplos

Exemplo 1.9

Cinco ações governam toda a teoria dos grupos finitos:

$G$ sobre si mesmo por translação à esquerda $g \cdot x = gx$ : livre e transitiva.
$G$ sobre si mesmo por conjugação $g \cdot x = gxg^{-1}$ : as órbitas são as classes de conjugação, os estabilizadores são os centralizadores $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ , e os pontos fixos formam o centro $Z(G)$ .
$G$ sobre o espaço de classes laterais $G/H$ por $g \cdot xH = gxH$ : transitiva, com estabilizador da classe $H$ igual a $H$ . Toda ação transitiva é dessa forma (Exercício 1.8).
$G$ sobre o conjunto de seus subgrupos por conjugação: o estabilizador de $H$ é o normalizador $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ , o maior subgrupo de $G$ no qual $H$ é normal.
$S_n$ sobre $\intint{1}{n}$ : a mãe de todos os exemplos.

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