¿Qué es acción de grupo? — Matemáticas

Definición 1.8 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 1 — Teoría de grupos

Una acción de $G$ sobre un conjunto $X$ es un morfismo $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ en el grupo de las biyecciones de $X$ ; se escribe $g \cdot x$ en lugar de $\varphi(g)(x)$ . Equivalentemente: una aplicación $G \times X \to X$ con $e \cdot x = x$ y $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . La órbita de $x$ es $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ , su estabilizador es el subgrupo $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ , y $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ es el conjunto de los puntos fijos. La acción es transitiva si hay exactamente una órbita, fiel si $\varphi$ es inyectivo y libre si todos los estabilizadores son triviales.

Ejemplos

Ejemplo 1.9

Cinco acciones gobiernan toda la teoría de grupos finitos:

$G$ sobre sí mismo por traslación por la izquierda $g \cdot x = gx$ : libre y transitiva.
$G$ sobre sí mismo por conjugación $g \cdot x = gxg^{-1}$ : las órbitas son las clases de conjugación, los estabilizadores los centralizadores $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ y los puntos fijos el centro $Z(G)$ .
$G$ sobre el espacio de clases $G/H$ por $g \cdot xH = gxH$ : transitiva, con estabilizador de la clase $H$ igual a $H$ . Toda acción transitiva es de esta forma (Ejercicio 1.8).
$G$ sobre el conjunto de sus subgrupos por conjugación: el estabilizador de $H$ es el normalizador $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ , el mayor subgrupo de $G$ en el que $H$ es normal.
$S_n$ sobre $\intint{1}{n}$ : la madre de todos los ejemplos.

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