Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is groepswerking?

Ook bekend als: baan · stabilisator

Definitie 1.8 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Groepentheorie

Een werking van GG op een verzameling XX is een morfisme φ ⁣:G→S(X)\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X) naar de groep van bijecties van XX; men schrijft g⋅xg \cdot x voor φ(g)(x)\varphi(g)(x). Gelijkwaardig: een afbeelding G×X→XG \times X \to X met e⋅x=xe \cdot x = x en g⋅(h⋅x)=(gh)⋅xg \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x. De baan van xx is Ox={g⋅x:g∈G}\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}, de stabilisator is de deelgroep Gx={g:g⋅x=x}G_x = \{g : g\cdot x = x\}, en XG={x:∀g, g⋅x=x}X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\} is de verzameling vaste punten. De werking heet transitief als er precies één baan is, trouw als φ\varphi injectief is, vrij als alle stabilisatoren triviaal zijn.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.9

Vijf werkingen dragen de hele eindige groepentheorie:

  1. GG op zichzelf door linkstranslatie g⋅x=gxg \cdot x = gx: vrij en transitief.
  2. GG op zichzelf door conjugatie g⋅x=gxg−1g \cdot x = gxg^{-1}: de banen zijn de conjugatieklassen, de stabilisatoren de centralisatoren ZG(x)={g:gx=xg}Z_G(x) = \{g : gx = xg\}, de vaste punten het centrum Z(G)Z(G).
  3. GG op de nevenklassenverzameling G/HG/H door g⋅xH=gxHg \cdot xH = gxH: transitief, en de stabilisator van de nevenklasse HH is HH zelf. Elke transitieve werking is van deze vorm (Oefening 1.8).
  4. GG op de verzameling van haar deelgroepen door conjugatie: de stabilisator van HH is de normalisator NG(H)={g:gHg−1=H}N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}, de grootste deelgroep van GG waarin HH normaal is.
  5. SnS_n op [ ⁣[1, n] ⁣]\intint{1}{n}: de moeder van alle voorbeelden.
Lees in het hoofdstuk →