Wat is groepswerking? — Wiskunde

Definitie 1.8 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Groepentheorie

Een werking van $G$ op een verzameling $X$ is een morfisme $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ naar de groep van bijecties van $X$ ; men schrijft $g \cdot x$ voor $\varphi(g)(x)$ . Gelijkwaardig: een afbeelding $G \times X \to X$ met $e \cdot x = x$ en $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . De baan van $x$ is $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ , de stabilisator is de deelgroep $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ , en $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ is de verzameling vaste punten. De werking heet transitief als er precies één baan is, trouw als $\varphi$ injectief is, vrij als alle stabilisatoren triviaal zijn.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.9

Vijf werkingen dragen de hele eindige groepentheorie:

$G$ op zichzelf door linkstranslatie $g \cdot x = gx$ : vrij en transitief.
$G$ op zichzelf door conjugatie $g \cdot x = gxg^{-1}$ : de banen zijn de conjugatieklassen, de stabilisatoren de centralisatoren $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ , de vaste punten het centrum $Z(G)$ .
$G$ op de nevenklassenverzameling $G/H$ door $g \cdot xH = gxH$ : transitief, en de stabilisator van de nevenklasse $H$ is $H$ zelf. Elke transitieve werking is van deze vorm (Oefening 1.8).
$G$ op de verzameling van haar deelgroepen door conjugatie: de stabilisator van $H$ is de normalisator $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ , de grootste deelgroep van $G$ waarin $H$ normaal is.
$S_n$ op $\intint{1}{n}$ : de moeder van alle voorbeelden.

Lees in het hoofdstuk →