Qu'est-ce que « action de groupe » ? — Mathématiques

Définition 1.8 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 1 — Théorie des groupes

Une action de $G$ sur un ensemble $X$ est un morphisme $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ vers le groupe des bijections de $X$ ; on note $g \cdot x$ pour $\varphi(g)(x)$ . De façon équivalente : une application $G \times X \to X$ avec $e \cdot x = x$ et $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ . L’orbite de $x$ est $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ , son stabilisateur est le sous-groupe $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ , et $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ est l’ensemble des points fixes. L’action est transitive s’il y a exactement une orbite, fidèle si $\varphi$ est injectif, libre si tous les stabilisateurs sont triviaux.

Exemples

Exemple 1.9

Cinq actions animent toute la théorie des groupes finis :

$G$ sur lui-même par translation à gauche $g \cdot x = gx$ : libre et transitive.
$G$ sur lui-même par conjugaison $g \cdot x = gxg^{-1}$ : les orbites sont les classes de conjugaison, les stabilisateurs les centralisateurs $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ , les points fixes le centre $Z(G)$ .
$G$ sur l’espace des classes $G/H$ par $g \cdot xH = gxH$ : transitive, avec stabilisateur de la classe $H$ égal à $H$ . Toute action transitive est de cette forme (Exercice 1.8).
$G$ sur son ensemble de sous-groupes par conjugaison : le stabilisateur de $H$ est le normalisateur $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ , le plus grand sous-groupe de $G$ dans lequel $H$ est normal.
$S_n$ sur $\intint{1}{n}$ : la mère de tous les exemples.

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