समूह क्रिया क्या है? — गणित

परिभाषा 1.8 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 1 — समूह सिद्धांत

किसी समुच्चय $X$ पर $G$ की एक क्रिया $X$ के एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के समूह में जाने वाली एक समाकारिता $\varphi \colon G \to \mathfrak{S}(X)$ है; $\varphi(g)(x)$ के लिए $g \cdot x$ लिखा जाता है। समतुल्य रूप से: एक ऐसा प्रतिचित्रण $G \times X \to X$ जिसके लिए $e \cdot x = x$ और $g \cdot (h \cdot x) = (gh) \cdot x$ । $x$ की कक्षा $\mathcal O_x = \{g \cdot x : g \in G\}$ है, उसका स्थायीकारी उपसमूह $G_x = \{g : g\cdot x = x\}$ है, और $X^G = \{x : \forall g,\ g \cdot x = x\}$ स्थिर बिंदुओं का समुच्चय है। क्रिया संक्रमणीय कहलाती है यदि ठीक एक कक्षा हो, निष्ठ यदि $\varphi$ एकैकी हो, और मुक्त यदि सभी स्थायीकारी तुच्छ हों।

उदाहरण

उदाहरण 1.9

पाँच क्रियाएँ समूचे परिमित समूह सिद्धांत को चलाती हैं:

बायाँ स्थानांतरण $g \cdot x = gx$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: मुक्त और संक्रमणीय।
संयुग्मन $g \cdot x = gxg^{-1}$ द्वारा $G$ की अपने ही ऊपर क्रिया: कक्षाएँ संयुग्मन वर्ग हैं, स्थायीकारी केंद्रक $Z_G(x) = \{g : gx = xg\}$ हैं, और स्थिर बिंदु केंद्र $Z(G)$ हैं।
सहसमुच्चय समष्टि $G/H$ पर $g \cdot xH = gxH$ द्वारा $G$ की क्रिया: संक्रमणीय, जिसमें सहसमुच्चय $H$ का स्थायीकारी $H$ है। प्रत्येक संक्रमणीय क्रिया इसी रूप की होती है (अभ्यास 1.8)।
संयुग्मन द्वारा $G$ की अपने उपसमूहों के समुच्चय पर क्रिया: $H$ का स्थायीकारी प्रसामान्यक $N_G(H) = \{g : gHg^{-1} = H\}$ है, अर्थात् $G$ का सबसे बड़ा उपसमूह जिसमें $H$ प्रसामान्य है।
$\intint{1}{n}$ पर $S_n$ की क्रिया: सब उदाहरणों की जननी।

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