O que é Adjunto; endomorfismos simétricos? — Matemática

Definição 12.11 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 12 — Formas quadráticas

Para $u \in \mathcal{L}(E)$ , o adjunto $u^*$ é o único endomorfismo com

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

numa base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . $u$ é simétrico (autoadjunto) quando $u^* = u$ — equivalentemente, sua matriz numa base ortonormal é simétrica.

Exemplos

Exemplo 12.12 (O adjunto depende do produto interno)

Em $\R^2$ tome o produto interno ponderado $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (matriz $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) e $u$ de matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ na base canônica. De $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ e $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ , a matriz do adjunto é

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

Verificação de bom senso em $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

em $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Lição final: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” é um enunciado sobre bases ortonormais apenas; em geral a métrica $D$ intervém, exatamente como na redução simultânea do problema de fim de semana.

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