Wat is Adjunct; symmetrische endomorfismen? — Wiskunde

Definitie 12.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 12 — Kwadratische vormen

Voor $u \in \mathcal{L}(E)$ is de adjunct $u^*$ het unieke endomorfisme met

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

in een orthonormale basis is $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . En $u$ heet symmetrisch (zelftoegevoegd) wanneer $u^* = u$ — gelijkwaardig: wanneer haar matrix in een orthonormale basis symmetrisch is.

Voorbeelden

Voorbeeld 12.12 (De adjunct hangt van het inproduct af)

Neem op $\R^2$ het gewogen inproduct $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (matrix $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) en $u$ met matrix $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ in de canonieke basis. Uit $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ en $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ volgt dat de matrix van de adjunct

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T}

is. Controle op $x = (1,0)$ en $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

en op $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Het inzicht om te onthouden: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” is een uitspraak over orthonormale basissen alleen; in het algemeen komt de metriek $D$ ertussen, precies als bij de simultane reductie van de weekendopgave.

Lees in het hoofdstuk →