Alle boeken

Professioneel

Apps Over Coach Inloggen Begin met lezen

Wiskunde · Begrippenlijst

Wat is Adjunct; symmetrische endomorfismen?

Ook bekend als: adjunct · symmetrisch endomorfisme

Definitie 12.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 12 — Kwadratische vormen

Voor u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E) is de adjunct u∗u^* het unieke endomorfisme met

⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩(x,y∈E);\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

in een orthonormale basis is Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}. En uu heet symmetrisch (zelftoegevoegd) wanneer u∗=uu^* = u — gelijkwaardig: wanneer haar matrix in een orthonormale basis symmetrisch is.

Voorbeelden

Voorbeeld 12.12 (De adjunct hangt van het inproduct af)

Neem op R2\R^2 het gewogen inproduct ⟨x,y⟩D=x1y1+2x2y2\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2 (matrix D=diag⁡(1,2)D = \operatorname{diag}(1,2)) en uu met matrix A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} in de canonieke basis. Uit ⟨u(x),y⟩D=(Ax)TDy=xT(ATD)y\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y en ⟨x,u∗(y)⟩D=xT(DA∗)y\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y volgt dat de matrix van de adjunct

A∗=D−1ATD=(10012)(0010)(1002)=(00120)≠ATA^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T}

is. Controle op x=(1,0)x = (1,0) en y=(0,1)y = (0,1):

⟨u(x),y⟩D=⟨(0,0),y⟩D=0,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(1,0),(0,12)⟩D=0;\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

en op x=(0,1)x = (0,1), y=(1,0)y = (1,0):

⟨u(x),y⟩D=⟨(1,0),(1,0)⟩D=1,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(0,1),(0,12)⟩D=1.\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Het inzicht om te onthouden: “Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}” is een uitspraak over orthonormale basissen alleen; in het algemeen komt de metriek DD ertussen, precies als bij de simultane reductie van de weekendopgave.

Lees in het hoofdstuk →