Apa itu Adjoin; endomorfisma simetrik? — Matematika

Definisi 12.11 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 12 — Bentuk Kuadratik

Untuk $u \in \mathcal{L}(E)$ , adjoin $u^*$ adalah satu-satunya endomorfisma dengan

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

dan dalam basis ortonormal berlaku $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . Adapun $u$ disebut simetrik (atau swa-adjoin) apabila $u^* = u$ — setara dengan matriksnya dalam basis ortonormal bersifat simetrik.

Contoh

Contoh 12.12 (Adjoinnya bergantung pada hasil kali dalamnya)

Pada $\R^2$ ambillah hasil kali dalam berbobot $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (bermatriks $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) dan $u$ bermatriks $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dalam basis kanoniknya. Dari $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ dan $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ , matriks adjoinnya adalah

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

Periksa kewarasannya di $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

lalu di $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Pelajaran penutupnya: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” adalah pernyataan tentang basis ortonormal belaka; sebab secara umum metrik $D$ ikut campur, persis seperti pada reduksi serentak soal akhir pekan.

Baca dalam konteks →