Semua buku

Profesional

Aplikasi Tentang Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu Adjoin; endomorfisma simetrik?

Dikenal juga sebagai: adjoin · endomorfisma simetrik

Definisi 12.11 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 12 — Bentuk Kuadratik

Untuk u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E), adjoin u∗u^* adalah satu-satunya endomorfisma dengan

⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩(x,y∈E);\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

dan dalam basis ortonormal berlaku Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}. Adapun uu disebut simetrik (atau swa-adjoin) apabila u∗=uu^* = u — setara dengan matriksnya dalam basis ortonormal bersifat simetrik.

Contoh

Contoh 12.12 (Adjoinnya bergantung pada hasil kali dalamnya)

Pada R2\R^2 ambillah hasil kali dalam berbobot ⟨x,y⟩D=x1y1+2x2y2\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2 (bermatriks D=diag⁡(1,2)D = \operatorname{diag}(1,2)) dan uu bermatriks A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} dalam basis kanoniknya. Dari ⟨u(x),y⟩D=(Ax)TDy=xT(ATD)y\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y dan ⟨x,u∗(y)⟩D=xT(DA∗)y\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y, matriks adjoinnya adalah

A∗=D−1ATD=(10012)(0010)(1002)=(00120)≠AT.A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

Periksa kewarasannya di x=(1,0)x = (1,0), y=(0,1)y = (0,1):

⟨u(x),y⟩D=⟨(0,0),y⟩D=0,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(1,0),(0,12)⟩D=0;\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

lalu di x=(0,1)x = (0,1), y=(1,0)y = (1,0):

⟨u(x),y⟩D=⟨(1,0),(1,0)⟩D=1,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(0,1),(0,12)⟩D=1.\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Pelajaran penutupnya: “Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}” adalah pernyataan tentang basis ortonormal belaka; sebab secara umum metrik DD ikut campur, persis seperti pada reduksi serentak soal akhir pekan.

Baca dalam konteks →