جميع الكتب

مهني

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 2 Markets II: Rates, FX and Creditالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoالأسواق عبر الإنترنتالإنجليزية 4 Quantitative Methodsالأساليب عبر الإنترنتالإنجليزية 5 Derivatives and Volatilityالمشتقات عبر الإنترنتالإنجليزية 6 Rates, Credit, XVA and Riskالفائدة والائتمان والمخاطر عبر الإنترنتالإنجليزية 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosالبحث عبر الإنترنتالإنجليزية 8 Strategies I: Equities and Futuresالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksالاستراتيجيات عبر الإنترنتالإنجليزية 10 Microstructure and Executionالتنفيذ عبر الإنترنتالإنجليزية 11 Market Making and High-Frequency Tradingصناعة السوق عبر الإنترنتالإنجليزية 12 Machine Learning for Marketsتعلم الآلة عبر الإنترنتالإنجليزية 13 Low-Latency Softwareالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 15 Research, Data and Risk Platformsالتكنولوجيا عبر الإنترنتالإنجليزية 16 The Desk and the Firmالشركة عبر الإنترنتالإنجليزية 17 The Industry: Firms, Roles and Careersالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية 20 Interviews III: Codeالمسارات المهنية عبر الإنترنتالإنجليزية
التطبيقات حول المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى المرافق؛ التشاكلات الذاتية المتماثلة؟

يُعرف أيضًا باسم: مرافق · تشاكل ذاتي متماثل

تعريف 12.11 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 12 — الصيغ التربيعية

من أجل u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E)، يكون المرافق u∗u^* هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحقق

⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩(x,y∈E);\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

وفي أساس متعامد ممنظم، Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}. ويكون uu متماثلًا (ذاتي المرافق) إذا كان u∗=uu^* = u — وبكيفية مكافئة، إذا كانت مصفوفته في أساس متعامد ممنظم متماثلة.

أمثلة

مثال 12.12 (المرافق يتعلق بالجداء السلّمي)

على R2\R^2 نأخذ الجداء السلّمي الموزون ⟨x,y⟩D=x1y1+2x2y2\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2 (بالمصفوفة D=diag⁡(1,2)D = \operatorname{diag}(1,2)) ونأخذ uu بالمصفوفة A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} في الأساس القانوني. ومن ⟨u(x),y⟩D=(Ax)TDy=xT(ATD)y\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y ومن ⟨x,u∗(y)⟩D=xT(DA∗)y\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y، تكون مصفوفة المرافق

A∗=D−1ATD=(10012)(0010)(1002)=(00120)≠AT.A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

وللتحقق على x=(1,0)x = (1,0)، y=(0,1)y = (0,1):

⟨u(x),y⟩D=⟨(0,0),y⟩D=0,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(1,0),(0,12)⟩D=0;\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

وعلى x=(0,1)x = (0,1)، y=(1,0)y = (1,0):

⟨u(x),y⟩D=⟨(1,0),(1,0)⟩D=1,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(0,1),(0,12)⟩D=1.\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

والفكرة الختامية: قولُ “Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}” قولٌ في الأسس المتعامدة الممنظمة فقط؛ وعمومًا يتدخل المتري DD، تمامًا كما في الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع.

اقرأ في الفصل ←