ما معنى المرافق؛ التشاكلات الذاتية المتماثلة؟ — الرياضيات

تعريف 12.11 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 12 — الصيغ التربيعية

من أجل $u \in \mathcal{L}(E)$ ، يكون المرافق $u^*$ هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحقق

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

وفي أساس متعامد ممنظم، $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . ويكون $u$ متماثلًا (ذاتي المرافق) إذا كان $u^* = u$ — وبكيفية مكافئة، إذا كانت مصفوفته في أساس متعامد ممنظم متماثلة.

أمثلة

مثال 12.12 (المرافق يتعلق بالجداء السلّمي)

على $\R^2$ نأخذ الجداء السلّمي الموزون $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (بالمصفوفة $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) ونأخذ $u$ بالمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني. ومن $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ ومن $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ ، تكون مصفوفة المرافق

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

وللتحقق على $x = (1,0)$ ، $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

وعلى $x = (0,1)$ ، $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

والفكرة الختامية: قولُ “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” قولٌ في الأسس المتعامدة الممنظمة فقط؛ وعمومًا يتدخل المتري $D$ ، تمامًا كما في الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع.

اقرأ في الفصل ←