Qu'est-ce que « Adjoint ; endomorphismes symétriques » ? — Mathématiques

Définition 12.11 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 12 — Formes quadratiques

Pour $u \in \mathcal{L}(E)$ , l’adjoint $u^*$ est l’unique endomorphisme vérifiant

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

dans une base orthonormée, $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . On dit que $u$ est symétrique (auto-adjoint) lorsque $u^* = u$ — de manière équivalente, sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Exemples

Exemple 12.12 (L’adjoint dépend du produit scalaire)

Sur $\R^2$ , prenons le produit scalaire pondéré $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (de matrice $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) et $u$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique. À partir de $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ et de $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ , la matrice de l’adjoint est

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

Vérification sur $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

sur $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Éclairage final : « $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ » est un énoncé sur les bases orthonormées uniquement ; en général la métrique $D$ intervient, exactement comme dans la réduction simultanée du problème du week-end.

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