सहसंलग्न; सममित अंतःरूपांतरण क्या है? — गणित

परिभाषा 12.11 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 12 — द्विघात रूप

$u \in \mathcal{L}(E)$ के लिए सहसंलग्न $u^*$ वह अद्वितीय अंतःरूपांतरण है जिसके लिए

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

और किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ । $u$ सममित (स्वसंलग्न) कहलाता है जब $u^* = u$ — समतुल्य रूप से, जब किसी प्रसामान्य लांबिक आधार में उसका आव्यूह सममित हो।

उदाहरण

उदाहरण 12.12 (सहसंलग्न अंतर्गुणन पर निर्भर करता है)

$\R^2$ पर भारित अंतर्गुणन $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (आव्यूह $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) लीजिए और विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ वाला $u$ । $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ तथा $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ से सहसंलग्न का आव्यूह

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

है। $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ पर तर्कसंगति की जाँच:

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

और $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ पर:

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

समापन दृष्टि: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” केवल प्रसामान्य लांबिक आधारों के बारे में कथन है; सामान्यतः मापक $D$ बीच में आ जाता है, ठीक वैसे ही जैसे सप्ताहांत समस्या के युगपत समानयन में।

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