¿Qué es Adjunto; endomorfismos simétricos? — Matemáticas

Definición 12.11 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 12 — Formas cuadráticas

Para $u \in \mathcal{L}(E)$ , el adjunto $u^*$ es el único endomorfismo con

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

en una base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . $u$ es simétrico (autoadjunto) cuando $u^* = u$ ; equivalentemente, cuando su matriz en una base ortonormal es simétrica.

Ejemplos

Ejemplo 12.12 (El adjunto depende del producto escalar)

Sobre $\R^2$ , tomemos el producto escalar con pesos $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (de matriz $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) y $u$ de matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en la base canónica. De $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ y $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ , la matriz del adjunto es

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

Comprobación de sensatez en $x = (1,0)$ , $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

y en $x = (0,1)$ , $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

Moraleja: “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” es un enunciado sobre bases ortonormales únicamente; en general interviene la métrica $D$ , exactamente como en la reducción simultánea del problema de fin de semana.

Leer en el capítulo →