O que é Subgrupo gerado; ordem? — Matemática

Definição 1.13 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 1 — Conjuntos e estruturas

Seja $G$ um grupo e $A \subseteq G$ . O subgrupo gerado por $A$ , escrito $\langle A \rangle$ , é o menor subgrupo que contém $A$ — concretamente, todos os produtos finitos de elementos de $A$ e de seus inversos. Um grupo é cíclico quando é gerado por um único elemento: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . A ordem de $a \in G$ é $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (possivelmente infinita); quando é finita, é o menor $n \geq 1$ com $a^n = e$ , e $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

O reticulado de subgrupos de ℤ/12ℤ: um subgrupo por divisor de 12 (), com uma aresta quando um contém o outro com índice primo. As inclusões correm ao contrário da divisibilidade do gerador: 4 ⊂eq 2 porque 4 é múltiplo de 2. — O reticulado de subgrupos de $\Z/12\Z$ : um subgrupo por divisor de $12$ (Proposição 1.17), com uma aresta quando um contém o outro com índice primo. As inclusões correm *ao contrário* da divisibilidade do gerador: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ porque $4$ é múltiplo de $2$ .

Exemplos

Exemplo 1.15 (Classes laterais em ação: $A_3$ dentro de $\mathfrak{S}_3$ )

Tome $G = \mathfrak{S}_3$ (ordem $6$ ) e $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . As classes laterais à esquerda são

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

duas classes de três elementos que particionam $G$ , exatamente como a contagem $\abs G = \abs H \times (\text{número de classes laterais})$ exige — e visivelmente a partição entre permutações pares e ímpares. Note que $(1\,3)H = (1\,2)H$ embora $(1\,3) \neq (1\,2)$ : as classes laterais são classes, e não são rotuladas por seus representantes; $x^{-1}y \in H$ é a única comparação legítima. Esse retrato em duas classes é o retrato geral da assinatura: $A_n$ e sua única classe lateral companheira cortam $\mathfrak{S}_n$ ao meio, e é assim que o problema de fim de semana conta as posições alcançáveis do quebra-cabeça.

Exemplo 1.16

Dois dividendos imediatos. Os grupos de ordem prima são cíclicos: se $\abs G = p$ é primo e $a \neq e$ , então $\operatorname{ord}(a)$ divide $p$ e não vale $1$ , logo vale $p$ : $\langle a\rangle = G$ . O reticulado de subgrupos de $\Z/12\Z$ : pela Proposição 1.17 adiante, há exatamente um subgrupo por divisor de $12$ — ordens $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , gerados respectivamente por $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ . A advertência final: a recíproca do teorema de Lagrange é falsa em geral — $A_4$ tem ordem $12$ mas nenhum subgrupo de ordem $6$ , como demonstramos no problema de fim de semana deste capítulo (Problema 1.1, questão 14). Lagrange restringe as ordens possíveis; não as promete.

Exemplo 1.20 (O tipo de ciclo como recenseamento)

Quantas permutações de $\mathfrak{S}_9$ têm tipo de ciclo $(4, 3, 2)$ — um $4$ -ciclo, um $3$ -ciclo, uma transposição? Escolha os suportes e as ordens cíclicas:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

liste os nove símbolos em fila ( $9!$ maneiras), agrupe os quatro primeiros, os três seguintes e os dois últimos em ciclos, e divida pelas rotações internas de cada grupo ( $4$ , $3$ e $2$ delas), que dão a mesma permutação. (Os comprimentos dos ciclos são distintos aqui, logo não há mais nada a dividir; comprimentos iguais exigiriam dividir também pelas permutações dos grupos de mesmo comprimento.) Toda permutação desse tipo tem ordem $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ e assinatura $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 e o teorema da assinatura adiante). Uma partição de $9$ , uma classe de conjugação, um recenseamento — a combinatória de $\mathfrak{S}_n$ é a aritmética das partições.

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