Matemática universitária — Graduação 1 · Licence 1

24Curvas Planas

O cálculo do Capítulos 14 e 16 foi construído para funções $y = f(x)$ ; a maioria das curvas da geometria e da mecânica — trajetórias, círculos rolando sobre círculos, órbitas — recusa essa forma e apresenta-se antes como curvas parametrizadas $t \mapsto (x(t), y(t))$ ou como curvas polares $r = r(\theta)$ . Este capítulo clássico estuda as duas, e fecha com as cônicas.

24.1 Curvas parametrizadas

Definição 24.1

Uma curva parametrizada é uma aplicação $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , com $x, y$ de classe $C^1$ (no mínimo) no intervalo $I$ . O vetor velocidade é $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; o ponto $M(t_0)$ é regular quando $f'(t_0) \neq (0,0)$ , e a tangente nesse ponto é a reta por $M(t_0)$ dirigida por $f'(t_0)$ .

Por que $f'$ dirige a tangente. Por Taylor–Young componente a componente, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : a direção da corda $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tende a $f'(t_0)$ . A hipótese de regularidade é o que faz do limite uma direção: se $f'(t_0) = 0$ , a fórmula exibida colapsa em $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ e nada diz sobre como a curva deixa o ponto — daí o tratamento separado dos pontos singulares no método abaixo, em que a primeira derivada não nula assume o papel de $f'$ . Note também que a reta tangente é um objeto geométrico: toda reparametrização muda $f'$ por um fator escalar não nulo e deixa a reta inalterada. ∎

Método 24.2 (Estudar uma curva parametrizada)

Reduza o domínio usando simetrias: relações entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … e $M(t)$ (reflexões, translações, periodicidade), e depois desenhe apenas a parte reduzida.
Variações: tabule os sinais de $x'$ e de $y'$ conjuntamente; a curva move-se para a direita ou para a esquerda conforme $x'$ , e para cima ou para baixo conforme $y'$ .
Pontos notáveis: tangente horizontal ( $y' = 0 \neq x'$ ), tangente vertical ( $x' = 0 \neq y'$ ); num ponto singular ( $f' = 0$ ), examine as derivadas de ordem superior para obter a direção da tangente.
Comportamento assintótico nas extremidades de $I$ , e depois esboce.

Exemplo 24.3 (Ramos assintóticos, trabalhados)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ em $\intoo{0}{+\infty}$ . Quando $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ enquanto $y \to +\infty$ — a curva sobe ao longo da assíntota vertical $x = 0$ (limite finito para uma coordenada, infinito para a outra). Quando $t \to +\infty$ : as duas coordenadas explodem, logo teste uma reta: a diferença

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

exibe a assíntota oblíqua $y = x$ , aproximada por cima. No meio disso, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ anula-se em $t = 1$ : o ponto $(1, 2)$ é o ponto mais baixo do ramo, e $x' = 1 > 0$ em toda parte, logo a curva avança sempre para a direita. Um arco, duas assíntotas, um mínimo: um quadro completo a partir de três cálculos — com a receita geral visível por baixo: quando $x, y \to \infty$ juntos, examine $y/x$ à procura de um coeficiente angular candidato (aqui $\to 1$ ), e depois $y - (\text{inclinação})\,x$ para a ordenada na origem e para o lado da aproximação.

Exemplo 24.4 (A astroide)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Simetrias: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estude um período); $M(-t)$ é o reflexo de $M(t)$ no eixo $x$ ; $M(\pi - t)$ , no eixo $y$ ; $M(\frac\pi2 - t)$ , na diagonal $y = x$ : basta estudar $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ e desdobrar.

Velocidade: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . Em $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos os pontos são regulares, com tangente dirigida por $(-\cos t, \sin t)$ ; em $t = 0$ (o ponto $(1,0)$ ) a velocidade se anula: uma cúspide, em que a curva inverte o sentido ao longo da direção tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetria, as quatro cúspides ficam em $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Exemplo 24.5 (Um oito, estudado por completo)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (uma curva de Lissajous). Simetrias: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflexão no eixo $y$ ), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetria central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexão no eixo $x$ ): basta estudar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ e desdobrar. Variações: $x' = \cos t \geq 0$ em toda parte, ao passo que $y' = 2\cos 2t$ é positiva antes de $t = \frac\pi4$ e negativa depois: o arco sobe para a direita até o cume $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ em $t = \frac\pi4$ (tangente horizontal), e depois desce para a direita até $(1, 0)$ em $t = \frac\pi2$ , onde $x' = 0 \neq y'$ : tangente vertical. Ponto duplo: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , com duas velocidades diferentes

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

dois ramos regulares cruzando-se na origem sob ângulos distintos — um ponto duplo, não um ponto singular: cada passagem é perfeitamente suave, e as duas passagens apenas partilham a sua localização. A curva inteira é o oito abaixo.

A curva de Lissajous ( t, 2t): um ponto duplo na origem, onde dois ramos regulares se cruzam com velocidades (1, 2) e (-1, 2), e tangentes horizontais nos quatro cumes. A simetria reduziu todo o trabalho a um quarto de período. — A curva de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$ : um ponto duplo na origem, onde dois ramos regulares se cruzam com velocidades $(1, 2)$ e $(-1, 2)$ , e tangentes horizontais nos quatro cumes. A simetria reduziu todo o trabalho a um quarto de período.

A astroide ( 3 t, 3 t): quatro arcos que se encontram em quatro cúspides. É a curva traçada por um ponto de um círculo de raio 1/4 rolando dentro do círculo unitário. — A astroide $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : quatro arcos que se encontram em quatro cúspides. É a curva traçada por um ponto de um círculo de raio $\frac14$ rolando dentro do círculo unitário.

24.2 Curvas polares

Definição 24.6

Uma curva polar é dada por $r = r(\theta)$ : o ponto de parâmetro $\theta$ é

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Com $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , a velocidade é

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Consequências: onde $r \neq 0$ , o ponto é regular, e a tangente faz com o raio o ângulo $V$ dado por $\tan V = \frac{r}{r'}$ (ângulo entre $M'$ e $\vec u$ ); onde $r(\theta_0) = 0$ , a curva passa pela origem com tangente o raio $\theta = \theta_0$ (direção $\vec u(\theta_0)$ , lida em $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , ou a partir da corda limite: a corda de $O$ a $M(\theta)$ é carregada pelo próprio $\vec u(\theta)$ , que tende a $\vec u(\theta_0)$ — de modo que a regra vale mesmo quando $r'(\theta_0) = 0$ e o ponto é singular, razão pela qual as cúspides polares na origem, como a da cardioide, ganham a sua tangente de graça).

Exemplo 24.7 (A cardioide)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Simetria: $r(-\theta) = r(\theta)$ : reflexão no eixo $x$ ; estude $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ decresce de $2$ a $0$ ; em $\theta = \pi$ , $r = 0$ : a curva atinge a origem tangencialmente ao raio $\theta = \pi$ (o eixo $x$ ), formando ali uma cúspide — a ponta do coração. Tangente em $\theta = 0$ : $r' = 0$ , logo $\tan V = \infty$ : perpendicular ao eixo.

O ângulo $V$ merece mais uma leitura. Em $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ e $r' = -1$ , logo $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : a tangente faz três quartos de um ângulo reto com o raio que sai — a curva já está dobrando de volta rumo à sua cúspide. A fórmula $\tan V = r/r'$ entrega direções tangentes ao longo de toda a curva sem calcular $M'(\theta)$ coisa alguma: é o análogo polar de ler um coeficiente angular.

Exemplo 24.8 (De polar a cartesiana: um círculo escondido)

O que é a curva polar $r = 2\cos\theta$ ? Multiplique por $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , isto é, $x^2 + y^2 = 2x$ , isto é,

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

o círculo de centro $(1, 0)$ e raio $1$ , que passa pela origem. A contabilidade importa: quando $\theta$ percorre $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , o círculo inteiro é varrido exatamente uma vez ( $r$ anula-se nas duas extremidades), e em $\theta = \pm\frac\pi2$ a regra “tangente na origem ao longo do raio $\theta = \theta_0$ ” dá ali uma tangente vertical — coerente com a geometria, já que o eixo vertical é de fato tangente a este círculo em $O$ . Para $\theta$ além desse intervalo, $r < 0$ percorre de novo o mesmo círculo: um lembrete de que uma curva polar é um objeto parametrizado, autorizado a passar por cima de si mesmo.

A rosácea de quatro pétalas r = 2 (o ). As pétalas ao longo do eixo y são traçadas com r < 0 (o ponto é marcado no raio oposto a ); as diagonais tracejadas = ± π4 são as tangentes na origem, onde r se anula. — A rosácea de quatro pétalas $r = \cos 2\theta$ (o Exercício 24.4). As pétalas ao longo do eixo $y$ são traçadas com $r < 0$ (o ponto é marcado no raio oposto a $\theta$ ); as diagonais tracejadas $\theta = \pm\frac\pi4$ são as tangentes na origem, onde $r$ se anula.

A cardioide r = 1 +. As curvas polares leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que gira. — A cardioide $r = 1 + \cos\theta$ . As curvas polares leem-se varrendo o ângulo: o raio incha e encolhe à medida que $\theta$ gira.

24.3 Comprimento de arco

Definição 24.9 (Comprimento de um arco)

O comprimento de um arco $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ é a integral da velocidade escalar:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivação: num intervalo pequeno, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , logo o arco é próximo de uma poligonal cujos comprimentos de segmento somam uma soma de Riemann de $\norm{f'}$ , o Teorema 15.20.) Para uma curva polar $r = r(\theta)$ , a velocidade $r'\vec u + r\vec v$ tem componentes ortogonais, logo

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

O comprimento não depende da parametrização (monótona, $C^1$ ) escolhida: substituir $t = \varphi(s)$ na integral (o Teorema 15.15) multiplica $f'$ por $\varphi'$ e $\dd t$ por $\varphi'^{-1}$ .

Exemplo 24.10 (Verificação de coerência: o círculo)

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ em $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , logo $L = 2\pi R$ — a definição devolve a circunferência. Teste de reparametrização: a aplicação $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ em $\intcc{0}{\pi}$ desenha o mesmo círculo ao dobro da velocidade $\norm{g'} = 2R$ , e

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

de novo: metade do tempo, o dobro da velocidade, o mesmo comprimento — a invariância prometida na definição, observada uma vez em números. (Rodar $g$ em todo o $\intcc{0}{2\pi}$ daria $4\pi R$ : uma curva percorrida duas vezes é duas vezes mais longa como percurso; o comprimento mede o caminho parametrizado, e a contabilidade honesta do intervalo faz parte do cálculo.) Para a astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , e por simetria $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : uma curva desenhada dentro do círculo unitário, de comprimento $6 < 2\pi$ . O problema de fim de semana mede o arco mais famoso de todos.

Um arco da cicloide (raio R = 1), o círculo rolante em t = 2, e as duas retas guia do problema de fim de semana: a corda MC até o ponto de contato é normal à curva, e a corda MT até o topo do círculo é tangente. — Um arco da cicloide (raio $R = 1$ ), o círculo rolante em $t = 2$ , e as duas retas guia do problema de fim de semana: a corda $MC$ até o ponto de contato é *normal* à curva, e a corda $MT$ até o topo do círculo é *tangente*.

24.4 Cônicas

Definição 24.11 (Definição por foco e diretriz)

Fixe um ponto $F$ (foco), uma reta $D$ que não passa por $F$ (diretriz) e $e > 0$ (excentricidade). A cônica destes dados é

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

uma elipse para $e < 1$ , uma parábola para $e = 1$ , uma hipérbole para $e > 1$ . (O círculo aparece como o limite degenerado $e \to 0$ .)

Exemplo 24.12 (A definição, conferida numa parábola)

Tome a parábola $y^2 = 4x$ , isto é, $2p = 4$ : foco $F = (1, 0)$ e diretriz $D : x = -1$ (a forma reduzida do Teorema 24.13 os coloca em $\pm\frac p2$ ). No ponto $M = (1, 2)$ da curva:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

iguais, como $e = 1$ exige. Em $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ e $d(M', D) = 5$ de novo. A definição por foco e diretriz não é uma abstração: é um par de distâncias que se pode medir em qualquer ponto, e a álgebra das equações reduzidas nada mais é do que essa medição feita uma vez por todas.

Teorema 24.13 (Equações reduzidas)

Num referencial ortonormal bem escolhido:

\text{elipse: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hipérbole: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parábola: } y^2 = 2px,

com, para a elipse: focos em $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , e a caracterização bifocal $MF + MF' = 2a$ ; para a hipérbole: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , assíntotas $y = \pm\frac ba x$ .

Demonstração. Tome o foco na origem e a diretriz vertical, $x = -h$ ( $h > 0$ ): a condição $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ lê-se $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Para $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , uma parábola depois do deslocamento $x \mapsto x - \frac h2$ (logo $p = h$ ). Para $e \neq 1$ : completando o quadrado em $x$ ,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Ponha $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (um deslocamento do referencial). Quando $e < 1$ , divida pelo lado direito, que é positivo: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ com $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; quando $e > 1$ , os dois lados da fórmula exibida trocam de sinal adequadamente e a mesma divisão dá $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ com $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . Os valores indicados de $c$ seguem ( $c^2 = a^2 - b^2$ ou $a^2 + b^2$ dá $c = ea$ nos dois casos, colocando o foco corretamente), e as propriedades bifocais são verificações diretas nas equações reduzidas. Em detalhe para a elipse, com $F' = (c, 0)$ e $M = (X, y)$ sobre a curva:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

usando $c^2 + b^2 = a^2$ e $e = \frac ca$ ; como $\abs X \leq a$ e $e < 1$ , $a - eX > 0$ , logo $MF' = a - eX$ , sem nunca extrair raiz quadrada alguma. O cálculo espelhado dá $MF = a + eX$ , donde $MF + MF' = 2a$ , constante. Para a hipérbole a mesma álgebra dá $MF = \abs{a + eX}$ e $MF' = \abs{eX - a}$ , com diferença $\pm2a$ conforme o ramo. ∎

Exemplo 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : elipse, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : focos $(\pm4, 0)$ , excentricidade $\frac45$ . A sua parametrização: $(5\cos t, 3\sin t)$ — um círculo esticado anisotropicamente; a soma das distâncias aos focos, para qualquer um dos seus pontos, é $10$ .

Exemplo 24.15 (Ler uma órbita a partir da sua equação polar)

A cônica polar $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (o Exercício 24.7 com $p = 1$ , $e = \frac12$ ) é uma elipse com um foco na origem — a geometria de uma órbita planetária com o sol em $O$ . Extraia tudo de $p$ e de $e$ : pela redução do Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ e $c = ea = \dfrac23$ . As duas ápsides conferem isso sem teoria alguma:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{periélio}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{afélio}),

e a sua soma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera o eixo maior. A forma polar é a natural sempre que um foco é fisicamente distinguido; a forma cartesiana reduzida, sempre que o são os eixos de simetria. Converter entre as duas é exatamente o que faz o cálculo do quadrado completado do teorema.

A excentricidade como um botão, por fim: mantenha $p = 1$ e gire $e$ em $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Em $e = 0$ : o círculo $r = 1$ . Em $e = \frac12$ : a elipse que acabamos de estudar, com $r$ oscilando entre $\frac23$ e $2$ . Em $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ quando $\theta \to \pi$ — a curva já não se fecha: uma parábola, com o seu ponto mais distante empurrado para o infinito. Em $e = 2$ : o denominador anula-se em $\cos\theta = -\frac12$ , e só $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ sobrevive: um ramo de hipérbole, escapando ao longo de duas direções assintóticas. Uma fórmula, a família das cônicas inteira, e o ponto de transição $e = 1$ visível como o instante em que o denominador atinge zero pela primeira vez.

Observação 24.16 (Armadilhas comuns)

Pontos duplos não são pontos singulares: num autocruzamento, cada ramo é regular; “singular” refere-se a $f'(t_0) = 0$ para um valor do parâmetro (o Exemplo 24.5, contra as cúspides da astroide). Tangente vertical versus cúspide: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ é um ponto regular com tangente vertical; só $x' = y' = 0$ exige a expansão de ordem superior. Raios negativos marcam-se no raio oposto: para $r(\theta) < 0$ o ponto é $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , no ângulo $\theta + \pi$ (o Exercício 24.5); esquecer isso perde laços internos ou duplica curvas. O comprimento de arco integra $\norm{f'}$ , e não $f'$ : separe a integral nos zeros da velocidade escalar — para a astroide, integrar $\frac32\sin 2t$ ao longo de um período completo sem valores absolutos dá $0$ , e não $6$ . As cônicas têm de ser reduzidas antes de serem lidas: em $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ , nem os eixos, nem o centro, nem a excentricidade são visíveis antes de completar os quadrados (o Exercício 24.6); e uma parte quadrática que se anula numa variável significa parábola, não “elipse degenerada”.

Observação 24.17 (Para onde vão estas curvas)

As curvas parametrizadas são a língua da mecânica: as trajetórias são curvas, os vetores velocidade são vetores tangentes, e o comprimento de arco da Definição 24.9 é a distância percorrida. As cônicas reaparecem onde quer que atue uma lei do inverso do quadrado — as órbitas planetárias são elipses com o sol num foco. No Capítulo 25, as curvas tornam-se os conjuntos de nível de funções de duas variáveis, e a tangente deste capítulo encontra o gradiente do próximo. O volume do segundo ano de graduação acrescenta a curvatura e a forma canônica local de uma curva; o problema de fim de semana abaixo já extrai, apenas com as ferramentas deste ano, tudo o que o século XVII sabia sobre a sua curva mais celebrada.

Observação 24.18 (Perspectivas dentro do Livro 3)

Este capítulo consome toda a primeira metade do volume e alimenta o último capítulo. Consumido: os vetores tangentes são derivadas (o Capítulo 14), o comprimento de arco e as áreas são integrais (o Capítulo 15), as cúspides são resolvidas por expansões de Taylor (o Capítulo 16), a tautócrona é uma equação diferencial linear (o Capítulo 5), e toda distância e todo ângulo são euclidianos (o Capítulo 23). Alimentado: no Capítulo 25, uma curva $t \mapsto (x(t), y(t))$ traçada dentro de um conjunto de nível $\{f = c\}$ é derivada pela regra da cadeia, e a identidade resultante $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ casa os vetores tangentes deste capítulo com os gradientes do próximo — a reta tangente da curva e a direção normal da superfície são o mesmo cálculo visto das duas margens.

24.5 Exercícios

Exercício 24.1 ★

Estude e esboce a curva $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (simetrias, variações, comportamento no ponto singular $t = 0$ ).

Solução

Solução de Exercício 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : reflexão no eixo $x$ ; estude $t \geq 0$ . Tanto $x' = 2t$ quanto $y' = 3t^2$ são $\geq 0$ : o ramo move-se para a direita e para cima, de $(0,0)$ ao infinito. Em $t = 0$ a velocidade se anula; as expansões $x = t^2$ , $y = t^3$ mostram que a tangente é o eixo $x$ ( $y/x = t \to 0$ ), com $y$ mudando de sinal enquanto $x \geq 0$ : uma cúspide apontando para a esquerda. A curva é a parábola semicúbica $y^2 = x^3$ .

Exercício 24.2 ★

Para a cicloide $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (a trajetória de um ponto de uma roda de raio $1$ que rola): identifique a simetria de translação por período, os pontos singulares, e a direção da tangente em $t = 0$ (expanda $x$ e $y$ até as primeiras ordens não nulas).

Solução

Solução de Exercício 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : a curva se repete, transladada por uma circunferência de roda; estude um período. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : o arco sobe em $\intoo{0}{\pi}$ , desce em $\intoo{\pi}{2\pi}$ , culminando em $(\pi, 2)$ . Pontos singulares onde $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , no solo. Perto de $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ muda de sinal, $y \geq 0$ , e $\frac{x}{y^{3/2}}$ é limitado: a tangente é vertical (direção $(0,1)$ ), uma cúspide em que o ponto acompanhado tem momentaneamente velocidade nula — a assinatura física do rolamento sem escorregamento.

Exercício 24.3 ★

Dê a reta tangente à curva $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ em $t = \frac\pi4$ , e verifique que o segmento dessa tangente cortado pelos eixos tem comprimento $1$ — uma propriedade famosa da astroide (verdadeira em todo ponto regular).

Solução

Solução de Exercício 24.3.

Em $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , direção tangente $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (o Exemplo 24.4). Reta tangente: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , isto é, $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Interseções com os eixos: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ e $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; o segmento entre eles tem comprimento $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Ponto geral $t$ : a tangente em $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ corta os eixos em $(\cos t, 0)$ e $(0, \sin t)$ — verifique que a reta por esses pontos tem direção $(-\cos t, \sin t)$ e passa por $M(t)$ — e o segmento cortado tem comprimento $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ .)

Exercício 24.4 ★

Esboce as curvas polares $r = \cos 2\theta$ (rosácea de quatro pétalas) e $r = \frac{1}{\cos\theta}$ em $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconheça uma reta).

Solução

Solução de Exercício 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : período $\pi$ em $\theta$ , simétrica nos dois eixos; $r$ anula-se em $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes na origem ao longo das diagonais) e é negativo para $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , onde os pontos são marcados no raio oposto — produzindo quatro pétalas ao longo das direções dos eixos $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ , cada uma de raio máximo $1$ .

$r\cos\theta = 1$ é a equação $x = 1$ : a curva polar $r = \frac{1}{\cos\theta}$ é a reta vertical $x = 1$ (percorrida uma vez para $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Exercício 24.5 ★★

Estude a curva polar $r = 1 + 2\cos\theta$ (uma limaçon): domínio em que $r \geq 0$ contra $r < 0$ (os pontos marcados com raio negativo ficam no raio oposto), passagem pela origem, laço interno, esboço.

Solução

Solução de Exercício 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ anula-se para $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Simetria no eixo $x$ ; estude $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Para $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , decrescente de $3$ a $0$ : arco externo, entrando na origem tangente ao raio $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Para $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : os pontos $r\vec u(\theta)$ ficam no raio oposto (ângulo $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), com distância $\abs r$ crescendo de $0$ a $1$ : isto desenha um pequeno laço interno pela origem. Em $\theta = \pi$ , $r = -1$ e o ponto é $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : o laço fecha-se no semieixo $x$ positivo. Esboço: uma grande curva externa em forma de coração, com alcance máximo $3$ em $\theta = 0$ , mais um laço dentro dela, por $O$ e por $(1,0)$ .

Exercício 24.6 ★★

Identifique a cônica $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : reduza completando quadrados, e dê o centro, os semieixos, os focos e a excentricidade.

Solução

Solução de Exercício 24.6.

Complete os quadrados:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

Dividindo por $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : uma elipse de centro $(2, 1)$ , semieixos $a = 5$ (horizontal) e $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : focos $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ e $(6, 1)$ ; excentricidade $e = \frac45$ .

Exercício 24.7 ★★

Demonstre que a equação polar de uma cônica com foco na origem é

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

(diretriz vertical à distância $\frac pe$ à direita do foco). Quais valores de $\theta$ são permitidos quando $e > 1$ ?

Solução

Solução de Exercício 24.7.

Foco na origem, diretriz $D: x = d$ com $d = \frac pe > 0$ . Para um ponto $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ com $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

e a condição da cônica $MF = e\,d(M, D)$ , no regime em que $M$ está do lado do foco em relação à diretriz ( $r\cos\theta < d$ ), lê-se $r = e(d - r\cos\theta)$ , isto é,

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Para $e < 1$ o denominador nunca se anula: todos os $\theta$ são permitidos (elipse). Para $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parábola, aberta para o lado oposto ao da diretriz). Para $e > 1$ : é preciso $1 + e\cos\theta > 0$ , isto é, $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ com $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : um ramo da hipérbole (o outro ramo corresponde à escolha de sinal $r < 0$ , ou ao segundo foco).

Exercício 24.8 ★★

A partir da propriedade bifocal $MF + MF' = 2a$ , deduza a “construção do jardineiro” da elipse, e demonstre que a tangente em $M$ faz ângulos iguais com $MF$ e $MF'$ (propriedade de reflexão; derive $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ e interprete a soma nula de produtos de vetores unitários).

Solução

Solução de Exercício 24.8.

Jardineiro: amarre um barbante de comprimento $2a$ a duas estacas $F, F'$ e mantenha-o esticado com o ponto traçador $M$ : a restrição é exatamente $MF + MF' = 2a$ , logo a curva traçada é a elipse.

Propriedade de reflexão: seja $t \mapsto M(t)$ uma parametrização regular e $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , sendo $u'(t)$ o vetor unitário análogo em direção a $F'$ . Derivando $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ , usando $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (regra da cadeia em $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ):

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

Logo a direção tangente $M'$ é ortogonal à direção bissetriz $u + u'$ dos dois raios focais: a tangente faz ângulos iguais com $MF$ e $MF'$ . (Um raio de luz que parte de um foco reflete-se na elipse para o outro foco.)

Exercício 24.9 ★★★

A lemniscata de Bernoulli é a curva polar $r^2 = \cos 2\theta$ (tome $r = \sqrt{\cos2\theta}$ onde estiver definida).

Dê o seu domínio, as suas simetrias, as tangentes na origem, e esboce-a.
Demonstre que ela é o lugar dos pontos $M$ com $MF \cdot MF' = \frac12$ , onde $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Calcule $MF^2\,MF'^2$ em coordenadas polares.)

Solução

Solução de Exercício 24.9.

Domínio: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Simetrias: $\theta \mapsto -\theta$ (eixo $x$ ) e $\theta \mapsto \pi - \theta$ (eixo $y$ ): estude $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ decresce de $1$ a $0$ . Em $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r = 0$ , tangentes na origem ao longo das diagonais. A curva é o símbolo $\infty$ : dois laços simétricos que se encontram em $O$ , atingindo $(\pm 1, 0)$ .
Com $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ , e $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

pela identidade $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ com $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ . Com $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

Sobre a lemniscata, $r^2 = \cos 2\theta$ : os dois primeiros termos se cancelam, restando $MF^2MF'^2 = \frac14$ , isto é, $MF \cdot MF' = \frac12$ . Reciprocamente, o cálculo lido ao contrário mostra que a equação do lugar $MF\,MF' = \frac12$ é $r^2 = \cos 2\theta$ (para $r \neq 0$ ; e $O$ satisfaz as duas).

Exercício 24.10 ★★

Calcule o comprimento total da cardioide $r = 1 + \cos\theta$ usando a fórmula polar da Definição 24.9 (a identidade $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ transforma a raiz quadrada em $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Solução

Solução de Exercício 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

logo $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ e, pela simetria no eixo $x$ ,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Mais um perímetro algébrico, sem $\pi$ .

Exercício 24.11 ★★

Mostre que a tangente à elipse $(a\cos t, b\sin t)$ no ponto de parâmetro $t$ tem equação

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

e deduza a tangente a $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ num ponto $(x_0, y_0)$ da elipse: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (a regra do “desdobramento dos quadrados”).

Solução

Solução de Exercício 24.11.

O ponto $(a\cos t, b\sin t)$ satisfaz a equação: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . O vetor normal da reta é $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ , e o seu produto com a velocidade $(-a\sin t, b\cos t)$ é $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : a reta passa pelo ponto com a direção tangente — ela é a tangente. Para $(x_0, y_0)$ sobre a elipse, escreva $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ e substitua:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

obtida da equação da elipse “desdobrando” $x^2 \mapsto x\,x_0$ e $y^2 \mapsto y\,y_0$ .

Exercício 24.12 ★★★

A espiral logarítmica é a curva polar $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ fixo, $\theta \in \R$ ).

Mostre que o ângulo $V$ entre o raio e a tangente é constante ( $\tan V = \frac1k$ ) — a espiral cruza todo raio sob o mesmo ângulo.
Mostre que girar a espiral por um ângulo $c$ a leva na sua homotética de razão $\eu^{-kc}$ : toda rotação da espiral é uma ampliação dela (autossemelhança).
Calcule o comprimento do arco $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (como limite dos comprimentos em $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) e observe que ele é finito: uma curva que espirala infinitas vezes em torno da origem, de comprimento finito.

Solução

Solução de Exercício 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , logo $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constante. A espiral corta todo raio a partir da origem sob o mesmo ângulo $V = \arctan\frac1k$ .
Em notação complexa a espiral é $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . Girar por $c$ multiplica por $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

e, à medida que $\theta + c$ percorre $\R$ , isto descreve $\eu^{-kc}$ vezes a espiral: rotação $=$ homotetia. Nenhuma outra curva suave, além das retas e dos círculos, tem essa propriedade.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , logo em $\intcc{A}{\theta_0}$ o comprimento é $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , e quando $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

infinitas voltas em torno da origem, comprimento total finito (as voltas encolhem geometricamente).

24.6 Problema: a cicloide, rainha das curvas

Problema 24.1

Uma roda de raio $R$ rola sem escorregar ao longo do eixo $x$ ; o ponto do aro inicialmente na origem traça a cicloide. O século XVII brigou por causa desta curva — Galileu pesou recortes de papel dela, Wren mediu-a, Roberval calculou a sua área, Huygens construiu relógios sobre ela — e cada um desses resultados está ao alcance deste capítulo. Demonstramos os quatro clássicos: a construção da tangente, o comprimento $8R$ de Wren, a área $3\pi R^2$ , e a propriedade tautócrona de Huygens.

Parte I — O rolamento e a tangente.

Depois de a roda ter girado um ângulo $t$ , o seu centro fica em $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rolamento sem escorregamento: distância de contato $=$ arco rolado). Mostre que o ponto marcado está em

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Calcule $f'(t)$ e mostre que $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localize os pontos singulares (cúspides — cf. o Exercício 24.2) e o topo de cada arco.
Seja $C(t) = (Rt, 0)$ o ponto de contato e $T(t) = (Rt, 2R)$ o topo da roda. Demonstre que, para $0 < t < 2\pi$ , o vetor $M - C$ é normal à curva em $M(t)$ e o vetor $T - M$ é tangente: para traçar a tangente a uma cicloide, ligue o ponto ao topo do seu círculo rolante. (Fatore tudo através de $\sin\frac t2$ e $\cos\frac t2$ .)
Interprete a questão 3 cinematicamente: o ponto de contato é o centro instantâneo de rotação, e a velocidade escalar de $M$ é igual à sua distância a $C$ (para velocidade angular unitária). Verifique $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Demonstre a relação altura–velocidade

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

numa cicloide percorrida com velocidade angular unitária, a velocidade escalar em cada ponto é exatamente a velocidade de queda livre para uma descida igual à altura corrente. (Guarde isto para a Parte IV.)

Parte II — O teorema de Wren: o arco tem comprimento $8R$ .

Usando a Definição 24.9, calcule o comprimento de um arco:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(teorema de Wren, 1658). Quatro diâmetros de roda, e nenhum $\pi$ em lugar algum.
Calcule o comprimento de arco a partir da cúspide: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , e verifique $s(2\pi) = 8R$ .
Meça agora o arco a partir do ápice $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Demonstre a relação intrínseca

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

o quadrado da distância de arco desde o topo é proporcional à queda de altura abaixo do topo.
Verificações de coerência: recupere da questão 8 que o meio arco do ápice à cúspide tem comprimento $4R$ , e compare com o cálculo da astroide do Exemplo 24.10 — as duas curvas têm comprimentos algébricos, sem $\pi$ ; explique o que torna isso possível, embora ambas sejam construídas a partir de círculos. (Olhe para a forma de $\norm{f'}$ .)

Parte III — A área de Roberval: $3\pi R^2$ .

Justifique que a área entre um arco e o solo é $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ (a substituição $x = x(t)$ em $\int y\,\dd x$ , o Teorema 15.15; $x$ é crescente).
Calcule

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

exatamente três vezes a área da roda — a razão que Galileu havia adivinhado pesando.
Mesmo método para a astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : mostre que a área encerrada é $\frac{3\pi}8$ (linearize $\sin^4 t\cos^2 t$ ; só o termo constante sobrevive ao longo de um período completo).
Confira a fórmula da questão 10 no semicírculo unitário superior $(\cos t, \sin t)$ , com $t$ indo de $\pi$ a $0$ : ela devolve $\frac\pi2$ ?

Parte IV — A tautócrona de Huygens. Vire o arco: uma conta desliza sem atrito, sob a gravidade $g$ , dentro da tigela cicloidal

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

cujo ponto mais baixo é a origem ( $y$ medido para cima).

Calcule a velocidade escalar $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , o comprimento de arco a partir do fundo $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , e demonstre a identidade-chave

$y = \frac{s^2}{8R} .$
A conta solta em repouso a partir do ponto de parâmetro $t_0 > 0$ obedece à conservação da energia: se $s(\tau)$ designa a sua posição de arco no instante $\tau$ , então $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Reescreva isto, usando a questão 14, como

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Derive em relação a $\tau$ e obtenha o oscilador harmônico

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

resolva-o com o Teorema 5.10 e as condições iniciais: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
Deduza a propriedade tautócrona (Huygens, 1659): o tempo para chegar ao fundo,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

não depende do ponto de largada — contas soltas ao mesmo tempo de quaisquer duas alturas da tigela chegam juntas.
Verifique por substituição que $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ satisfaz exatamente a equação de energia de primeira ordem da questão 15 (e não apenas a equação derivada), e explique numa frase por que um pêndulo circular é apenas aproximadamente isócrono ao passo que a cicloide o é exatamente.
Numericamente: qual raio $R$ faz o tempo de descida ser exatamente um segundo ( $g = 9.81$ )? Note quão perto a resposta está de um metro, e como o período completo de oscilação $2\pi\sqrt{4R/g}$ se compara com a fórmula do pêndulo de pequenas oscilações $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para $\ell = 4R$ .

Parte V — Dividendos, e síntese.

Aplique a regra da tangente da questão 3 em $t = \frac\pi2$ (tome $R = 1$ ): calcule $M$ , $T$ , a direção de $MT$ , e confira contra $f'(\frac\pi2)$ .
(Trocoides) Marque em vez disso um ponto à distância $d$ do centro ( $d \neq R$ ): a curva é $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Mostre que, para $d < R$ , a curva é regular em toda parte e não apresenta comportamento singular algum ( $x' > 0$ : ela avança), ao passo que, para $d > R$ , a abscissa $x'$ muda de sinal e a curva faz laços — a roda ferroviária com friso, cujos pontos do aro viajam para trás.
(Prévia da braquistócrona) Da cúspide $(\pi R, 2R)$ da tigela até o fundo, compare o tempo de descida pela cicloide $\pi\sqrt{R/g}$ com o tempo ao longo da rampa reta que liga os mesmos pontos (aceleração constante $g\sin\alpha$ ao longo da corda): mostre que a corda leva $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . A curva vence a reta — ela é, de fato, a mais rápida de todas as curvas, um resultado do cálculo das variações.
Mostre que, no arco ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

o arco é côncavo, com tangentes verticais exatamente nas cúspides.
Recupere geometricamente a tangente vertical na cúspide do Exercício 24.2: calcule a direção limite da corda $MT$ da questão 3 quando $t \to 0^{+}$ , sem expansão alguma.
Síntese, em quatro frases: quais três teoremas nomeados este problema demonstrou (com os seus números $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ e os seus autores); qual único artifício de cálculo (as fatorações $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ ) alimentou todas as Partes I, II e IV; como a relação intrínseca $y = s^2/8R$ converteu geometria numa equação diferencial linear; e em qual capítulo deste livro cada Parte se apoiou.

Solução

Solução de Problema 24.1.

1. Rolar sem escorregar significa que o ponto de contato percorreu uma distância igual ao arco de roda desenrolado: depois de girar por $t$ , o centro está em $(Rt, R)$ . O ponto marcado fica no aro, num ângulo $t$ atrás da vertical descendente (a roda gira no sentido horário enquanto avança):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

o que é correto em $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) e em $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , o topo).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ e

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

logo $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Pontos singulares em $t \in 2\pi\Z$ : as cúspides no solo (o Exercício 24.2); o topo do arco é $t = \pi$ , onde a velocidade $2R$ é máxima.

3. Fatorações de meio ângulo:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Para $0 < t < 2\pi$ , $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ é ortogonal à direção tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (o produto deles é $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), e $T - M$ é paralelo a ela. A corda até o topo da roda é a tangente; a corda até o ponto de contato é a normal.

4. A cada instante a roda pivota em torno do seu ponto de contato (esse ponto tem velocidade nula: rolamento sem escorregamento), logo todo ponto rígido da roda move-se ortogonalmente à reta que o liga a $C$ , com velocidade escalar (velocidade angular $1$ ) igual a essa distância. Verificação: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . A velocidade escalar à altura $y$ é $\sqrt{2R\,y}$ — formalmente a lei $v = \sqrt{2gh}$ da queda livre, com o solo fazendo o papel de teto; a Parte IV transforma esta observação em maquinaria de relógio.

6. Pela Definição 24.9 e pela questão 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ em $\intcc{0}{2\pi}$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

O teorema de Wren: exatamente quatro diâmetros.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , coerente.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , logo $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; e $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , donde $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. Na cúspide $t = 0$ (ou $2\pi$ ): $\sigma = 4R$ , metade de $8R$ : o ápice divide o arco ao meio. Nos dois cálculos a velocidade escalar é $\abs{\text{polinômio trigonométrico em } t/2}$ , cuja primitiva é de novo trigonométrica: o comprimento é uma diferença de valores de cossenos — números racionais vezes $R$ — sem nenhum arco de círculo a medir, logo sem $\pi$ . O próprio círculo tem velocidade constante, de modo que a sua integral de comprimento produz o comprimento total do intervalo, $2\pi$ ; a velocidade da cicloide anula-se nas extremidades e integra-se algebricamente.

10. O arco é percorrido com $x$ crescendo de $0$ a $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , anulando-se apenas em pontos isolados). Substituir $x = x(t)$ na integral de área $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (o Teorema 15.15) dá $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

usando $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Exatamente três áreas de roda: a balança de Galileu dizia “cerca de $3$ ”; o cálculo de Roberval diz “exatamente”.

12. Com $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Linearize:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

e em $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Logo $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , e a área encerrada é $\frac{3\pi}8$ (o sinal registra a orientação anti-horária).

13. Para $(\cos t, \sin t)$ com $t$ indo de $\pi$ a $0$ , $x$ cresce de $-1$ a $1$ e

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

a fórmula devolve a área do semidisco superior, como deve.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , logo $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (não negativa em $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Arco a partir do fundo: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . Então

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Conservação da energia com $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ e $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. Derivando em $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , logo, onde quer que $s' \neq 0$ (e portanto em toda parte, por continuidade), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : o oscilador harmônico. Pelo Teorema 5.10, $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ com $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; as condições iniciais $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ dão $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. A conta atinge o fundo quando $s = 0$ , isto é, em $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

independente de $s_0$ : soltas de qualquer lugar da tigela, todas as contas chegam no mesmo instante — a tautócrona.

18. Substituindo $s = s_0\cos\omega\tau$ : o lado esquerdo é $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ e o lado direito é $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : igualdade exata, logo nenhuma solução espúria foi introduzida. Para um arco circular, $y$ não é proporcional a $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): o termo restaurador é apenas aproximadamente linear, de modo que o período de um pêndulo circular varia com a amplitude, ao passo que o da cicloide é rigorosamente constante.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ dá $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — quase exatamente um metro. A oscilação completa leva $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , que é precisamente a fórmula de pequenas oscilações $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para um pêndulo de comprimento $\ell = 4R$ : Huygens suspendeu o seu pêndulo entre faces cicloidais exatamente dessa proporção.

20. Em $t = \frac\pi2$ , $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , logo $T - M = (1, 1)$ . E $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : a corda até o topo é a velocidade, como prometido.

21. Para a trocoide, $x'(t) = R - d\cos t$ e $y'(t) = d\sin t$ . Se $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$ , o ponto sempre avança; a velocidade nunca se anula (a sua primeira componente é positiva): nenhum ponto singular, uma onda regular. Se $d > R$ : $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , logo o ponto move-se para trás perto dos instantes de contato e para a frente nos demais: a curva cruza-se a si mesma em laços. Um ponto no friso de uma roda ferroviária (abaixo do boleto do trilho, $d > R$ ) viaja para trás a cada volta.

22. A corda da cúspide $(\pi R, 2R)$ até a origem tem comprimento $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ e ângulo de inclinação $\alpha$ com $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . Deslizando do repouso com aceleração constante $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , logo

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

contra $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ para a cicloide: o caminho curvo é mais rápido. Ele é, de fato, o mais rápido possível — a braquistócrona — um teorema do cálculo das variações, além deste volume.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (fórmulas de meio ângulo). Então

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

côncavo ao longo de todo o arco; quando $t \to 0^+$ ou $2\pi^-$ , o coeficiente angular $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : tangentes verticais nas cúspides.

24. A direção da corda é $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , que tende a $(0, 1)$ quando $t \to 0^{+}$ : a tangente na cúspide é vertical — recuperada por pura geometria, sem nenhuma expansão de Taylor.

25. (i) O teorema de Wren, $L = 8R$ ; a área de Roberval, $A = 3\pi R^2$ (a razão $3$ conjecturada por Galileu); a tautócrona de Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Todo cálculo apoiou-se nas fatorações de meio ângulo $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ e no seu análogo para a tigela — uma única identidade alimentando tangente, comprimento e relógio. (iii) A relação intrínseca $y = s^2/8R$ converteu a equação de energia em $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , uma equação linear de coeficientes constantes cujas soluções são exatamente isócronas. (iv) A Parte I usou o cálculo diferencial do Capítulo 14, as Partes II–III a integral do Capítulo 15, e a Parte IV as equações diferenciais do Capítulo 5 — a cicloide é o currículo deste livro enrolado numa só curva.