O que é espaço localmente compacto?

$X$ é localmente compacto se é de Hausdorff e todo ponto tem uma vizinhança compacta ($\R^n$; os abertos de $\R^n$; os espaços discretos — mas não $\Q$, veja o Exercício 6.9). Todo espaço localmente compacto mergulha em um compacto: a compactificação por um ponto $\hat X = X \cup \{\infty\}$, cujos abertos são os de $X$ junto com os complementares (em $\hat X$) dos subconjuntos compactos de $X$. Os axiomas se verificam diretamente; $\hat X$ é compacto (uma cobertura tem um membro contendo $\infty$, cujo complementar é compacto, coberto por um número finito dos demais) e de Hausdorff (separe $x$ de $\infty$ por uma vizinhança compacta de $x$ e seu complementar). Exemplo: $\hat\R \cong S^1$, e $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por projeção estereográfica (Exercício 6.11).