¿Qué es espacio localmente compacto?

$X$ es localmente compacto si es de Hausdorff y todo punto tiene un entorno compacto ($\R^n$; los abiertos de $\R^n$; los espacios discretos — pero no $\Q$, véase el Ejercicio 6.9). Todo espacio localmente compacto se sumerge en uno compacto: la compactificación por un punto $\hat X = X \cup \{\infty\}$, cuyos abiertos son los de $X$ junto con los complementarios (en $\hat X$) de los subconjuntos compactos de $X$. Los axiomas se comprueban directamente; $\hat X$ es compacto (un recubrimiento tiene un miembro que contiene $\infty$, cuyo complementario es compacto y queda recubierto por un número finito de los demás) y de Hausdorff (sepárese $x$ de $\infty$ mediante un entorno compacto de $x$ y su complementario). Ejemplo: $\hat\R \cong S^1$, y $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por proyección estereográfica (el Ejercicio 6.11).