Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

6Topologia geral

O volume do segundo ano fez análise em espaços métricos: distâncias, bolas, sequências. Mas as noções fundamentais — continuidade, compacidade, conexidade — jamais mencionam o valor numérico de uma distância, apenas a família de abertos que ela gera. Este capítulo toma essa família como objeto primitivo. O ganho não é generalidade pela generalidade: as construções por quociente (o círculo como $\R/\Z$ , os espaços projetivos), os produtos e as topologias do tipo fraco da análise funcional simplesmente não são objetos que nascem métricos. Reconstruímos a continuidade, tratamos em seguida a compacidade por coberturas abertas (demonstrando que ela equivale, em espaços métricos, à definição sequencial do segundo ano) e a conexidade — encerrando com o teorema de que nenhuma bijeção contínua pode identificar $\R$ com $\R^2$ : a topologia sabe distinguir dimensões.

6.1 Topologias, abertos, continuidade

Definição 6.1

Uma topologia sobre um conjunto $X$ é uma família $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — chamados conjuntos abertos — tal que: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toda reunião de abertos é aberta; toda interseção finita de abertos é aberta. O par $(X, \mathcal T)$ é um espaço topológico. Os complementares dos abertos são os fechados. Uma vizinhança de $x$ é um conjunto que contém um aberto que contém $x$ .

Exemplo 6.2

(a) Um espaço métrico, com “aberto” no sentido do segundo ano (reuniões de bolas abertas): a topologia métrica; métricas diferentes podem dar a mesma topologia (métricas equivalentes). Um espaço cuja topologia provém de alguma métrica é metrizável. (b) A topologia discreta (todos os subconjuntos) e a topologia grosseira $\{\varnothing, X\}$ . (c) A topologia cofinita sobre um conjunto infinito: aberto $=$ vazio ou cofinito. Não é metrizável, como veremos (Exercício 6.3). (d) Em $\R$ , a topologia usual; em $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , a topologia da ordem gerada pelas semirretas — o que faz de “ $x_n \to +\infty$ ” um caso de convergência comum.

Definição 6.3

Para $A \subseteq X$ : o interior $\mathring A$ é o maior aberto contido em $A$ (a reunião de todos eles); o fecho $\bar A$ é o menor fechado que contém $A$ ; a fronteira é $\partial A = \bar A \setminus \mathring A$ . $A$ é denso se $\bar A = X$ . Tem-se $x \in \bar A$ se, e somente se, toda vizinhança de $x$ encontra $A$ (se alguma vizinhança não encontra $A$ , o complementar de seu núcleo aberto é um fechado menor em torno de $A$ ; e reciprocamente).

Definição 6.4

Uma base de $\mathcal T$ é uma família $\mathcal B \subseteq \mathcal T$ tal que todo aberto é uma reunião de membros de $\mathcal B$ (por exemplo, as bolas abertas em um espaço métrico; os intervalos abertos em $\R$ ). Uma família $\mathcal B$ de subconjuntos de $X$ é base de alguma topologia se, e somente se, ela cobre $X$ e, para $B_1, B_2 \in \mathcal B$ e $x \in B_1 \cap B_2$ , existe $B_3 \in \mathcal B$ com $x \in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$ — e então “as reuniões de membros” formam uma topologia, a topologia gerada por $\mathcal B$ .

Definição 6.5

$f \colon X \to Y$ é contínua se $f^{-1}(V)$ é aberto para todo aberto $V \subseteq Y$ — equivalentemente, as pré-imagens de fechados são fechadas; equivalentemente, para todo $x$ e toda vizinhança $V$ de $f(x)$ , $f^{-1}(V)$ é vizinhança de $x$ (continuidade em cada $x$ ). Basta verificar sobre uma base de $Y$ . Composições de aplicações contínuas são contínuas. Um homeomorfismo é uma bijeção contínua de inversa contínua; a topologia estuda as propriedades preservadas por homeomorfismos.

Proposição 6.6 (Continuidade e fecho; colagem)

(a) $f$ é contínua se, e somente se, $f(\bar A) \subseteq \overline{f(A)}$ para todo $A \subseteq X$ . (b) Se $X = F_1 \cup F_2$ com $F_1, F_2$ fechados e $f\colon X \to Y$ se restringe continuamente a cada $F_i$ , então $f$ é contínua.

Demonstração. (a) Se $f$ é contínua: $f^{-1}(\overline{f(A)})$ é fechado e contém $A$ , logo contém $\bar A$ . Reciprocamente, aplique o critério a $A = f^{-1}(F)$ , com $F$ fechado: $f(\bar A) \subseteq \overline{f(f^{-1}(F))} \subseteq \bar F = F$ , logo $\bar A \subseteq f^{-1}(F) = A$ : as pré-imagens de fechados são fechadas. (b) Para $F \subseteq Y$ fechado: $f^{-1}(F) = (f\restriction_{F_1})^{-1}(F) \cup (f\restriction_{F_2})^{-1} (F)$ , uma reunião de dois conjuntos fechados em $F_1$ e em $F_2$ , respectivamente, logo fechados em $X$ (os $F_i$ são fechados: fechado dentro de fechado é fechado). ∎

Definição 6.7

$X$ é de Hausdorff (ou separado) se dois pontos distintos quaisquer têm vizinhanças disjuntas. Os espaços métricos são de Hausdorff (bolas de raio $d(x,y)/2$ ). Uma sequência $(x_n)$ converge para $x$ se toda vizinhança de $x$ contém todos os $x_n$ salvo um número finito; em um espaço de Hausdorff, os limites são únicos (dois limites teriam vizinhanças disjuntas contendo, cada uma, uma cauda). Em um espaço de Hausdorff, os pontos — e portanto os conjuntos finitos — são fechados.

Observação 6.8

Em espaços métricos, as sequências detectam tudo: $x \in \bar A$ se, e somente se, alguma sequência de $A$ converge para $x$ (tome $x_n \in A \cap B(x, 1/n)$ ), e $f$ é contínua se, e somente se, é sequencialmente contínua. Em espaços gerais, ambas as equivalências falham; os substitutos corretos das sequências (filtros, redes) pertencem a um curso mais avançado. Enunciaremos os resultados baseados em sequências em espaços métricos e os baseados em coberturas em geral — e demonstraremos sua equivalência onde ela vale.

6.2 Subespaços, produtos, quocientes

Definição 6.9

Três maneiras de fabricar espaços novos a partir de antigos:

Subespaço: em $A \subseteq X$ , os abertos são os $U \cap A$ , com $U$ aberto em $X$ — a topologia menos fina que torna a inclusão contínua.
Produto: em $X \times Y$ (e nos produtos finitos), a topologia de base os blocos abertos $U \times V$ ; em um produto infinito $\prod_i X_i$ , a base é formada pelos blocos $\prod U_i$ com $U_i = X_i$ para todos salvo um número finito de índices $i$ — a topologia menos fina que torna contínua toda projeção.
Quociente: se $\sim$ é uma equivalência em $X$ e $\pi\colon X \to X/{\sim}$ é a projeção, declare $V \subseteq X/{\sim}$ aberto se, e somente se, $\pi^{-1}(V)$ é aberto — a topologia mais fina que torna $\pi$ contínua.

Proposição 6.10 (Propriedades universais)

(a) $f \colon Z \to X \times Y$ é contínua se, e somente se, ambas as componentes $\pi_X \circ f$ , $\pi_Y \circ f$ o são (o mesmo vale para produtos arbitrários). (b) $g \colon X/{\sim} \to Z$ é contínua se, e somente se, $g \circ \pi \colon X \to Z$ o é.

Demonstração. (a) Necessidade: composições. Suficiência: basta verificar as pré-imagens dos blocos da base: $f^{-1}(U \times V) = (\pi_Xf)^{-1}(U) \cap (\pi_Yf)^{-1}(V)$ , aberto (apenas um número finito de fatores $\neq X_i$ no caso infinito). (b) Necessidade: composição. Suficiência: para $W \subseteq Z$ aberto, $\pi^{-1}(g^{-1}(W)) = (g\pi)^{-1}(W)$ é aberto, o que, pela definição da topologia quociente, significa que $g^{-1}(W)$ é aberto. ∎

Exemplo 6.11

O quociente $\R/\Z$ (identificando $x$ e $x + n$ ) é homeomorfo ao círculo $S^1 = \{z \in \C : \abs z = 1\}$ : a aplicação $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ passa a uma bijeção contínua $\R/\Z \to S^1$ (Proposição 6.10(b)); sua inversa é contínua pelo argumento de compacidade do Corolário 6.14 abaixo (o Exercício 6.5 detalha tudo, inclusive por que $\R/\Z$ é de Hausdorff e compacto). Do mesmo modo, $[0,1]$ com as extremidades coladas é $S^1$ , o quadrado com os lados opostos colados é o toro, e colar é, enfim, um teorema, não um desenho.

6.3 Compacidade

Definição 6.12

Uma cobertura aberta de $X$ é uma família $(U_i)_{i\in I}$ de abertos com $\bigcup U_i = X$ . $X$ é compacto se é de Hausdorff e toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Equivalentemente (tomando complementares): toda família de fechados com a propriedade da interseção finita (toda subfamília finita tem interseção não vazia) tem interseção total não vazia.

Teorema 6.13 (Primeiras propriedades)

Seja $X$ compacto.

Um subconjunto fechado de $X$ é compacto; um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado.
A imagem contínua de um espaço compacto em um espaço de Hausdorff é compacta. Em particular, uma aplicação contínua $f\colon X \to \R$ é limitada e atinge seus extremos.
Uma sequência decrescente de fechados não vazios de $X$ tem interseção não vazia.

Demonstração. (1) Sejam $F \subseteq X$ fechado e $(U_i)$ uma cobertura aberta de $F$ (por abertos de $X$ ): acrescentar $X \setminus F$ dá uma cobertura aberta de $X$ ; uma subcobertura finita, retirado $X \setminus F$ , cobre $F$ . Que o subespaço é de Hausdorff é claro. Reciprocamente, sejam $K \subseteq Y$ compacto, $Y$ de Hausdorff e $y \notin K$ : para cada $x \in K$ escolha abertos disjuntos $U_x \ni x$ , $V_x \ni y$ ; um número finito dos $U_x$ cobre $K$ , e a interseção dos $V_x$ correspondentes é uma vizinhança de $y$ disjunta da cobertura de $K$ e, portanto, de $K$ : o complementar de $K$ é aberto.

(2) Se $(V_j)$ cobre $f(X)$ , então $(f^{-1}(V_j))$ cobre $X$ ; uma subcobertura finita embaixo provém da subcobertura finita em cima. A imagem é de Hausdorff por ser subespaço. Para $f$ real: $f(X)$ é compacto em $\R$ , logo fechado e limitado (cubra por $(-n, n)$ para a limitação; fechado por (1)), e um conjunto fechado e limitado contém seu supremo.

(3) Se $\bigcap F_n = \varnothing$ , os abertos $X \setminus F_n$ cobrem $X$ ; um número finito basta, de modo que algum $F_{n_0} = \varnothing$ (a sequência é decrescente) — contradição. ∎

Corolário 6.14

Uma bijeção contínua de um espaço compacto em um espaço de Hausdorff é um homeomorfismo.

Demonstração. A inversa é contínua se, e somente se, as imagens diretas de fechados são fechadas; um fechado $F$ é compacto (Teorema 6.13(1)), sua imagem é compacta (2) e, portanto, fechada (1) no alvo de Hausdorff. ∎

Teorema 6.15 (Produtos finitos)

Um produto finito de espaços compactos é compacto.

Demonstração. Basta tratar $X \times Y$ . A propriedade de Hausdorff é herdada (separe em uma coordenada). Seja $(W_i)$ uma cobertura aberta de $X \times Y$ ; podemos supor que os $W_i$ são blocos da base $U_i \times V_i$ (refine: cada ponto está em um bloco contido em algum $W_i$ ; uma subcobertura finita de blocos fornece uma dos $W_i$ ). Fixe $x \in X$ : a fatia $\{x\}\times Y \cong Y$ é compacta, de modo que um número finito de blocos $U_1\times V_1, \dots, U_k\times V_k$ a cobre, com $x \in U_j$ para todo $j$ ; então $U^x = \bigcap_{j \leq k} U_j$ é uma vizinhança aberta de $x$ com $U^x \times Y$ coberto por um número finito de blocos (o lema do tubo: para $(x', y) \in U^x \times Y$ , $y \in V_j$ para algum $j$ , pois os blocos cobriam $\{x\}\times Y$ no nível $y$ , e $x' \in U^x \subseteq U_j$ , logo $(x', y) \in U_j \times V_j$ ). Ora, um número finito de $U^x$ cobre o compacto $X$ ; as coleções finitas de blocos correspondentes cobrem $X \times Y$ . ∎

Teorema 6.16 (Compacidade em espaços métricos)

Para um espaço métrico $(X, d)$ , são equivalentes:

$X$ é compacto (Borel–Lebesgue);
toda sequência em $X$ tem uma subsequência convergente (compacidade sequencial — a definição do segundo ano);
$X$ é completo e totalmente limitado: para todo $\varepsilon > 0$ , um número finito de bolas de raio $\varepsilon$ cobre $X$ .

Demonstração. (1) $\Rightarrow$ (2): suponha que $(x_n)$ não tenha subsequência convergente. Então cada $x \in X$ tem uma bola aberta $B_x$ que contém $x_n$ apenas para um número finito de índices $n$ (do contrário, uma subsequência convergiria para $x$ : tome os raios $1/k$ ). Um número finito de $B_x$ cobre $X$ , de modo que só existe um número finito de índices $n$ : absurdo.

(2) $\Rightarrow$ (3): completude: uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge (segundo ano). Total limitação: se algum $\varepsilon$ não admite cobertura finita, escolha indutivamente $x_{n+1}$ fora de $\bigcup_{k\leq n} B(x_k, \varepsilon)$ : a sequência satisfaz $d(x_m, x_n) \geq \varepsilon$ para $m \neq n$ , e não tem subsequência de Cauchy, nem convergente.

(3) $\Rightarrow$ (1): primeiro, (3) implica (2): dada $(x_n)$ , cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $1$ : uma delas, $B_1$ , contém uma subsequência; cubra $X$ por bolas de raio $1/2$ : uma delas contém uma nova subsequência; itere e diagonalize: a subsequência diagonal é de Cauchy (dois termos posteriores à etapa $k$ estão em uma bola comum de raio $2^{-k}$ , a menos do habitual $2\cdot$ ) e, portanto, converge. Seja agora $(U_i)$ uma cobertura aberta e suponha que não haja subcobertura finita. Argumento do número de Lebesgue: para cada $n$ , alguma bola $B(y_n, 2^{-n})$ não é coberta por um número finito de $U_i$ — com efeito, cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $2^{-n}$ ; se cada uma fosse finitamente coberta, $X$ também seria. Por (2), uma subsequência $y_{n_k} \to y$ ; escolha $i$ com $y \in U_i$ e $r > 0$ com $B(y, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande, $B(y_{n_k}, 2^{-n_k}) \subseteq B(y, r) \subseteq U_i$ : coberta por um único $U_i$ — contradição. ∎

Corolário 6.17 (Heine–Borel; Heine)

(a) Um subconjunto de $\R^n$ é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. (b) Uma aplicação contínua de um espaço métrico compacto em um espaço métrico é uniformemente contínua.

Demonstração. (a) Fechado e limitado $\Rightarrow$ contido em um cubo $[-M,M]^n$ , que é compacto: $[-M, M]$ o é (sequencialmente, por Bolzano–Weierstrass — ou diretamente por dicotomia para as coberturas), e o Teorema 6.15 cuida do produto; depois aplique o Teorema 6.13(1). Reciprocamente, um subconjunto compacto é fechado (Teorema 6.13(1)) e limitado (cubra por bolas concêntricas).

(b) Sejam $f \colon X \to Y$ , $\varepsilon > 0$ . As bolas $B\bigl(x, \delta_x\bigr)$ com $f\bigl(B(x, 2\delta_x)\bigr)\subseteq B\bigl(f(x), \varepsilon/2\bigr)$ cobrem $X$ ; extraia uma subcobertura finita $B(x_j, \delta_{x_j})$ e ponha $\delta = \min_j \delta_{x_j}$ . Se $d(x, x') < \delta$ : $x \in B(x_j, \delta_{x_j})$ para algum $j$ , e então ambos $x, x' \in B(x_j, 2\delta_{x_j})$ , de modo que $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ . ∎

Definição 6.18

$X$ é localmente compacto se é de Hausdorff e todo ponto tem uma vizinhança compacta ( $\R^n$ ; os abertos de $\R^n$ ; os espaços discretos — mas não $\Q$ , veja o Exercício 6.9). Todo espaço localmente compacto mergulha em um compacto: a compactificação por um ponto $\hat X = X \cup \{\infty\}$ , cujos abertos são os de $X$ junto com os complementares (em $\hat X$ ) dos subconjuntos compactos de $X$ . Os axiomas se verificam diretamente; $\hat X$ é compacto (uma cobertura tem um membro contendo $\infty$ , cujo complementar é compacto, coberto por um número finito dos demais) e de Hausdorff (separe $x$ de $\infty$ por uma vizinhança compacta de $x$ e seu complementar). Exemplo: $\hat\R \cong S^1$ , e $\widehat{\R^n} \cong S^n$ por projeção estereográfica (Exercício 6.11).

6.4 Conexidade

Definição 6.19

$X$ é conexo se não é a reunião de dois abertos disjuntos não vazios — equivalentemente, seus únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados são $\varnothing$ e $X$ ; equivalentemente, toda aplicação contínua $X \to \{0, 1\}$ (discreto) é constante. Um subconjunto é conexo se o for como subespaço.

Teorema 6.20

Os subconjuntos conexos de $\R$ são exatamente os intervalos.
As imagens contínuas de conexos são conexas (donde o teorema do valor intermediário: uma aplicação real contínua em um espaço conexo tem por imagem um intervalo).
Se os $(A_i)$ são conexos com um ponto em comum, $\bigcup A_i$ é conexo. Se $A$ é conexo e $A \subseteq B \subseteq \bar A$ , então $B$ é conexo.
Produtos finitos de conexos são conexos.

Demonstração. Ao longo de toda a demonstração usamos o critério de $\{0,1\}$ : toda $f \colon X \to \{0,1\}$ contínua tem de ser constante.

(1) Um $A$ que não é intervalo deixa de conter algum $c$ entre $a, b \in A$ : $A = (A \cap (-\infty, c)) \sqcup (A \cap (c, +\infty))$ o desconecta. Reciprocamente, sejam $I$ um intervalo e $f \colon I \to \{0,1\}$ contínua com $f(a) = 0$ , $f(b) = 1$ , $a < b$ . Seja $c = \sup\{x \in [a,b] : f(x) = 0\}$ ; a continuidade em $c$ força $f(c) = 0$ (limite de valores $0$ : toda vizinhança de $c$ encontra $\{f = 0\}$ ; $\{f=0\}$ é fechado) e, então, $c < b$ com $f \equiv 1$ em $(c, b]$ , de modo que $f(c) = 1$ pelo mesmo argumento de fecho sobre $\{f = 1\} \ni c$ : contradição.

(2) Uma aplicação contínua $g \colon f(X) \to \{0,1\}$ dá $g \circ f$ constante, de modo que $g$ é constante na imagem.

(3) Uma aplicação contínua $f\colon \bigcup A_i \to \{0,1\}$ é constante em cada $A_i$ , com o mesmo valor no ponto comum. Quanto ao fecho: $f \colon B \to \{0,1\}$ é constante $= c$ em $A$ ; todo $x \in B \subseteq \bar A$ está no fecho de $A$ , e $f^{-1} (f(x))$ é uma vizinhança de $x$ (pré-imagem de um aberto), que tem de encontrar $A$ : $f(x) = c$ .

(4) Para $X \times Y$ e $f\colon X\times Y \to \{0,1\}$ : dois pontos quaisquer $(x,y), (x',y')$ são ligados pelo “cotovelo” $\{x\}\times Y \cup X \times \{y'\}$ , reunião de dois conexos (homeomorfos a $Y$ e a $X$ ) que se encontram em $(x, y')$ : por (3) e (2), $f$ coincide nos dois pontos. ∎

Definição 6.21

$X$ é conexo por caminhos se dois pontos quaisquer são ligados por um caminho (uma aplicação contínua $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Conexo por caminhos implica conexo: dois valores de uma $f \colon X \to \{0,1\}$ contínua em $x, y$ são valores da aplicação constante $f\circ\gamma$ (Teorema 6.20(1)–(2)). Os subconjuntos convexos de espaços normados são conexos por caminhos (segmentos); também o são $\R^n \setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (contorne a origem) e $S^n$ para $n \geq 1$ (projete caminhos a partir de $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$ , com $\abs y \leq 1$ , é limite de pontos de $\Gamma$ : resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$ ). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$ , imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$ ; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.

$A curva seno do topólogo: o gráfico de 1x (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento \0\×[-1,1] (em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.$

A curva seno do topólogo: o gráfico de

\sin\frac1x

(em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento

\{0\}\times[-1,1]

(em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.

Definição 6.23

A componente conexa de $x \in X$ é a reunião de todos os conexos que contêm $x$ — o maior deles (Teorema 6.20(3)). As componentes formam uma partição de $X$ e são fechadas (fechos de conexos são conexos). $X$ é totalmente desconexo se todas as componentes são unitárias ( $\Q$ ; o conjunto de Cantor do problema de fim de semana).

Teorema 6.24

$\R$ não é homeomorfo a nenhum $\R^n$ com $n \geq 2$ .

Demonstração. Suponha que $h \colon \R \to \R^n$ seja um homeomorfismo. Retirando um ponto: $\R \setminus \{0\}$ é homeomorfo a $\R^n \setminus \{h(0)\}$ . Mas $\R\setminus\{0\}$ é desconexo, ao passo que $\R^n\setminus\{\text{ponto}\}$ é conexo por caminhos para $n \geq 2$ (Definição 6.21; translade o ponto para $0$ ): a conexidade é um invariante por homeomorfismo (Teorema 6.20(2)) — contradição. (Que $\R^2 \not\cong \R^3$ exige invariantes mais finos — topologia algébrica; o problema de fim de semana mostra o perigo: sobrejeções contínuas $\R \to \R^2$ existem de fato.) ∎

Método 6.25

Para demonstrar que um conjunto é conexo: exiba-o como imagem contínua, como reunião de conexos que se sobrepõem, como fecho ou como produto (Teorema 6.20); para subconjuntos de espaços normados, demonstre a conexidade por caminhos com caminhos explícitos (segmentos, arcos, cotovelos). Para demonstrar que dois espaços não são homeomorfos: encontre um invariante topológico que difira — compacidade, conexidade, número de componentes, ou as componentes depois de retirado um conjunto finito bem escolhido (o truque do Teorema 6.24: ele também demonstra $[0,1) \not\cong (0,1)$ e $S^1 \not\cong [0,1]$ ).

6.5 Exercícios

Exercício 6.1 ★

(a) Liste todas as topologias sobre $\{a, b\}$ , classifique-as a menos de homeomorfismo e determine quais são conexas e quais são de Hausdorff. (b) Em $\R$ (topologia usual), calcule interior, fecho e fronteira de $\Q$ , de $[0,1) \cup \{2\}$ e de $\{1/n : n \geq 1\}$ .

Solução

Solução de Exercício 6.1.

(a) Quatro topologias sobre $\{a,b\}$ : a indiscreta $\{\varnothing, X\}$ ; a discreta; as duas topologias de Sierpiński $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ e $\{\varnothing, \{b\}, X\}$ . As duas últimas são homeomorfas (troque $a, b$ ): três classes. Conexas: todas, exceto a discreta (só a topologia discreta contém um aberto-fechado próprio não vazio). Hausdorff: só a discreta (nas outras, a única vizinhança de $b$ é $X$ , ou a de $a$ ).

(b) $\Q$ : interior $\varnothing$ (todo intervalo contém irracionais), fecho $\R$ (densidade), fronteira $\R$ . $[0,1) \cup \{2\}$ : interior $(0,1)$ , fecho $[0,1]\cup\{2\}$ , fronteira $\{0, 1, 2\}$ . $\{1/n\}$ : interior $\varnothing$ , fecho $\{1/n\}\cup\{0\}$ , fronteira o próprio fecho.

Exercício 6.2 ★

(a) Mostre que $f\colon X \to Y$ é contínua se, e somente se, $f^{-1}(B)$ é aberto para todo $B$ em uma base fixada de $Y$ . (b) Mostre que $f = \mathbf 1_{[0,\infty)} \colon \R \to \R$ não é contínua, mas é contínua à direita. Verifique que os intervalos semiabertos $[a, b)$ formam a base de uma topologia na fonte $\R$ (a reta de Sorgenfrey), que essa topologia é estritamente mais fina do que a usual, e que uma função $\R \to \R$ (com alvo usual) é contínua a partir da reta de Sorgenfrey se, e somente se, é contínua à direita em todo ponto.

Solução

Solução de Exercício 6.2.

(a) Todo aberto $V \subseteq Y$ é uma união $\bigcup B_j$ de conjuntos da base, e $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$ : se estes últimos são abertos, o primeiro também é; a recíproca é trivial.

(b) $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ não é aberto: $f$ não é contínua; a continuidade à direita em cada ponto é clara ( $f$ é localmente constante à direita de cada ponto). Os conjuntos $[a, b)$ satisfazem o critério de base (Definição 6.4): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$ . A topologia de Sorgenfrey é mais fina que a usual, pois $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$ ; estritamente: $[0,1)$ é aberto de Sorgenfrey, mas não é aberto usual. Continuidade a partir da reta de Sorgenfrey em $x$ : uma vizinhança de Sorgenfrey de $x$ contém um conjunto da base $[a, b) \ni x$ , logo contém $[x, b)$ — de modo que a condição de continuidade se lê: para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ com $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ sempre que $x \leq t < x + \delta$ . Isso é exatamente a continuidade à direita em $x$ .

Exercício 6.3 ★

Em um conjunto infinito com a topologia cofinita, mostre: dois abertos não vazios quaisquer se encontram (de modo que o espaço não é de Hausdorff e, portanto, não é metrizável); toda sequência injetora converge para todo ponto. Onde a demonstração da unicidade dos limites usa Hausdorff?

Solução

Solução de Exercício 6.3.

Dois abertos não vazios têm complementares finitos, de modo que sua interseção tem complementar finito: não vazia (o conjunto é infinito) — dois pontos nunca têm vizinhanças disjuntas: não é Hausdorff, logo não é metrizável (Definição 6.7). Seja $(x_n)$ injetiva e $x$ arbitrário: uma vizinhança de $x$ contém um aberto cofinito $U$ ; os finitos pontos de $X\setminus U$ são atingidos por, no máximo, finitos índices (injetividade), de modo que uma cauda da sequência está em $U$ : $x_n \to x$ , para todo $x$ . A demonstração da unicidade precisa de duas vizinhanças disjuntas para separar dois supostos limites — precisamente o que falha aqui.

Exercício 6.4 ★★

(a) Mostre que as projeções $\pi_X, \pi_Y$ de um produto são contínuas e abertas (as imagens de abertos são abertas), mas não fechadas em geral ( $\{xy = 1\}$ em $\R^2$ ). (b) Mostre que uma sequência em um produto enumerável $\prod_n X_n$ de espaços métricos converge se, e somente se, cada coordenada converge, e que $d(x, y) = \sum_n 2^{-n}\min(1, d_n(x_n, y_n))$ metriza a topologia produto. (c) Em $\R^\N$ , mostre que a “topologia das caixas” (todos os produtos de abertos são abertos) é estritamente mais fina: a sequência $x^{(k)} = (1/k, 1/k, \dots)$ converge para $0$ na topologia produto, mas não na topologia das caixas.

Solução

Solução de Exercício 6.4.

(a) A continuidade é por construção (Definição 6.9). Abertura: um aberto $W \subseteq X \times Y$ é uma união de blocos $U_i\times V_i$ , e $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (blocos não vazios se projetam sobre seus fatores), aberto. Não fechada: $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ é fechado em $\R^2$ (pré-imagem de $\{1\}$ pelo produto, contínuo), mas $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ não é fechado.

(b) ( $\Rightarrow$ ) As projeções são contínuas. ( $\Leftarrow$ ) Seja $x^{(k)} \to x$ componente a componente e $W = \prod U_n$ uma vizinhança básica de $x$ , com $U_n = X_n$ salvo para $n \in F$ finito. Para cada $n \in F$ , $x_n^{(k)} \in U_n$ para $k \geq K_n$ ; para $k \geq \max_F K_n$ , $x^{(k)} \in W$ . A fórmula $d$ define uma métrica (cada parcela é uma, a menos da verificação usual de que $\min(1, d_n)$ o é); suas bolas: $B_d(x, 2^{-N})$ contém o bloco básico $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ para $N'$ adequado (a cauda $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ é pequena) e, reciprocamente, todo bloco básico contém uma $d$ -bola: as duas topologias têm as mesmas vizinhanças de cada ponto.

(c) Na topologia produto, $x^{(k)} \to 0$ por (b). O conjunto $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ , aberto na topologia das caixas, contém $0$ , mas $x^{(k)} \notin U$ para todo $k$ (a $n$ -ésima coordenada $1/k \geq 1/n$ quando $n \geq k$ ): nenhuma cauda entra em $U$ . A topologia das caixas é estritamente mais fina e não é, para fins de convergência, uma topologia do tipo produto.

Exercício 6.5 ★★

O círculo, de três maneiras. Mostre que os seguintes espaços são dois a dois homeomorfos, com aplicações explícitas: (i) $S^1 \subseteq \R^2$ ; (ii) $\R/\Z$ (topologia quociente); (iii) $[0,1]/(0 \sim 1)$ . (Para (ii): mostre que $\R/\Z$ é de Hausdorff — levante duas classes a representantes a distância $\leq \frac12$ — e que $\pi([0,1])$ é o espaço todo, de modo que o quociente é compacto; use então o Corolário 6.14.)

Solução

Solução de Exercício 6.5.

$\varphi \colon \R \to S^1$ , $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$ , é contínua, sobrejetora e constante nas classes módulo $\Z$ : ela induz uma bijeção contínua $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ (Proposição 6.10(b)). A projeção $\pi$ é aberta: para $U \subseteq \R$ aberto, $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ é aberto, de modo que $\pi(U)$ é aberto. Hausdorff: sejam $\bar x \neq \bar y$ ; escolha representantes com $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$ ; as imagens dos intervalos de raio $\delta/3$ em torno de $x$ e $y$ são abertas (abertura de $\pi$ ), contêm $\bar x, \bar y$ e são disjuntas (dois pontos das pré-imagens distariam $< 2\delta/3$ módulo $\Z$ ). Compacto: $\R/\Z = \pi([0,1])$ , imagem contínua de um espaço compacto (Teorema 6.13(2)). Agora $\bar\varphi$ é uma bijeção contínua de um espaço compacto no espaço de Hausdorff $S^1$ : um homeomorfismo (Corolário 6.14).

Para (iii): a composta $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ é contínua, sobrejetora e identifica exatamente $0 \sim 1$ : ela induz uma bijeção contínua $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ de um espaço compacto (imagem contínua de $[0,1]$ pela projeção quociente) em um espaço de Hausdorff: um homeomorfismo. Compondo: os três espaços são homeomorfos.

Exercício 6.6 ★★

Seja $X$ um espaço métrico. (a) Mostre que uma reunião finita de compactos é compacta, e que uma interseção arbitrária também é. (b) Se $K$ é compacto, $F$ é fechado e $K \cap F = \varnothing$ , mostre que $d(K, F) = \inf\{d(x,y) : x \in K, y \in F\} > 0$ ; dê um contraexemplo com dois fechados disjuntos. (c) Mostre que $X$ é compacto se, e somente se, toda aplicação contínua $f \colon X \to \R$ é limitada. (Se alguma sequência não tem subsequência convergente, construa uma função contínua ilimitada com suporte perto de seus termos; ou use funções do tipo $x \mapsto d(x, \cdot)$ — um caminho limpo: se $(x_n)$ não tem ponto de acumulação, o conjunto $\{x_n\}$ é fechado e discreto, e $f(x_n) = n$ se estende continuamente sem recorrer a Tietze: $f(x) = \sum_n n\,\max\bigl(0, 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\bigr)$ para $r_n$ suficientemente pequenos.)

Solução

Solução de Exercício 6.6.

(a) Uma cobertura de $K_1 \cup \dots \cup K_m$ se restringe a uma cobertura de cada $K_j$ : finitos abertos por peça bastam. Uma interseção $\bigcap K_i$ é fechada no compacto $K_{i_0}$ (compactos são fechados no espaço métrico ambiente), logo compacta.

(b) $x \mapsto d(x, F)$ é contínua ( $1$ -lipschitziana) e estritamente positiva em $K$ ( $d(x, F) = 0$ significa $x \in \bar F = F$ ); no compacto $K$ ela atinge um mínimo $m > 0$ : $d(K, F) \geq m$ . Contraexemplo sem compacidade: $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ e $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ são fechados, disjuntos, à distância $\inf_n \frac1n = 0$ .

(c) Se $X$ é compacto, toda $f$ contínua é limitada (Teorema 6.13(2)). Reciprocamente, se $X$ não é compacto, tome $(x_n)$ sem subsequência convergente (Teorema 6.16); passando a uma subsequência, podemos supor os $x_n$ dois a dois distintos, e nenhum ponto de $X$ é valor de aderência da sequência, de modo que

r_n = \min\Bigl(2^{-n},\ \tfrac13\,d\bigl(x_n, \{x_m : m \neq n\}\bigr)\Bigr) > 0,

e as bolas $B(x_n, r_n)$ são duas a duas disjuntas (um ponto comum à $n$ -ésima e à $m$ -ésima daria $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$ ). Defina

f(x) = \sum_{n} n\,\max\Bigl(0,\ 1 - \frac{d(x, x_n)}{r_n}\Bigr):

em cada $x$ há no máximo uma parcela não nula, e $f(x_n) = n$ . Continuidade em $x$ : seja $y_k \to x$ ; cada valor $f(y_k)$ é $0$ ou um único valor de pico $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$ . Se algum índice $n$ ocorre uma infinidade de vezes, ao longo dessa subsequência $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$ , que é igual a $f(x)$ (se $x \in B(x_n, r_n)$ , toda a cauda está nessa bola aberta e nenhum outro índice ocorre; se $x \notin B(x_n, r_n)$ , então $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$ , pois $x$ , aderente à $n$ -ésima bola, não está em nenhuma outra bola aberta). Se $n_k \to \infty$ : $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$ , de modo que $x_{n_k} \to x$ , tornando $x$ valor de aderência de $(x_n)$ — excluído; assim esse caso diz respeito apenas a finitos $k$ . Em todos os casos $f(y_k) \to f(x)$ : $f$ é contínua e ilimitada.

Exercício 6.7 ★★

(Número de Lebesgue) Seja $(U_i)$ uma cobertura aberta de um espaço métrico compacto $X$ . Mostre que existe $\delta > 0$ tal que todo subconjunto de diâmetro $< \delta$ está contido em um único $U_i$ . (Do contrário, tome $A_n$ de diâmetro $< 1/n$ em nenhum $U_i$ , e um ponto de acumulação de $x_n \in A_n$ escolhidos.) Deduza de novo o teorema de Heine (Corolário 6.17(b)).

Solução

Solução de Exercício 6.7.

Suponha que nenhum $\delta$ funcione: para cada $n$ existe $A_n$ de diâmetro $< 1/n$ que não está contido em nenhum $U_i$ ; tome $x_n \in A_n$ . Por compacidade (Teorema 6.16), uma subsequência $x_{n_k} \to x$ ; escolha $i$ e $r > 0$ com $B(x, r) \subseteq U_i$ . Para $k$ grande: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ e $1/n_k < r/2$ , de modo que $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — contradição. Heine: dado $\varepsilon$ , cubra $Y$ por bolas $B(y, \varepsilon/2)$ ; as pré-imagens formam uma cobertura aberta de $X$ ; seja $\delta$ um número de Lebesgue: se $d(x, x') < \delta$ , o par $\{x, x'\}$ tem diâmetro $< \delta$ , está contido em uma pré-imagem, e $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$ .

Exercício 6.8 ★★

(a) Mostre que $GL_n(\R)$ é um subconjunto aberto e denso de $M_n(\R)$ , e que é desconexo: o sinal do determinante o separa em (ao menos) duas peças. Mostre, por outro lado, que $GL_n(\C)$ é conexo por caminhos. (Para $A, B \in GL_n(\C)$ : $\lambda \mapsto \det\bigl((1 - \lambda)A + \lambda B\bigr)$ é um polinômio não identicamente nulo, de modo que tem um número finito de raízes em $\C$ : escolha um caminho de $\lambda$ em $\C$ de $0$ a $1$ que as evite.) (b) Demonstre a densidade: $A + \varepsilon I$ é inversível para $\varepsilon > 0$ pequeno.

Solução

Solução de Exercício 6.8.

(a) $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ é aberto ( $\det$ é polinomial, logo contínuo). Desconexo: $\det$ o leva sobre $\R\setminus\{0\}$ , e um espaço conexo tem imagens contínuas conexas (Teorema 6.20(2)); $\R\setminus\{0\}$ não é um intervalo. $GL_n(\C)$ : para $A, B$ inversíveis, $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ é um polinômio em $\lambda$ com $p(0), p(1) \neq 0$ , logo não identicamente nulo: tem finitas raízes em $\C$ . O plano menos finitos pontos é conexo por caminhos (contorne os pontos), de modo que existe um caminho $\lambda(t)$ de $0$ a $1$ com $p(\lambda(t)) \neq 0$ : $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ é um caminho em $GL_n(\C)$ .

(b) $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ se anula para no máximo $n$ valores de $\varepsilon$ : matrizes inversíveis $A + \varepsilon I \to A$ quando $\varepsilon \to 0$ : densidade.

Exercício 6.9 ★★

(a) Mostre que as componentes conexas de $\Q$ são os conjuntos unitários, e que $\Q$ não é localmente compacto (uma vizinhança compacta de $0$ em $\Q$ conteria $[-r, r]\cap\Q$ , cujo fecho em $\Q$ não é compacto: corte em um irracional). (b) Complete o Exemplo 6.22: nenhum caminho liga $(0,0)$ a $\Gamma$ . (Se $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ é um tal caminho, seja $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; para $t > t^*$ o ponto se move sobre o gráfico; escolha $t_k \downarrow t^*$ com $\gamma_1(t_k) \to 0$ atingindo abscissas em que $\sin$ vale alternadamente $\pm1$ — o teorema do valor intermediário as fornece —, contradizendo a continuidade de $\gamma_2$ em $t^*$ .)

Solução

Solução de Exercício 6.9.

(a) Seja $A \subseteq \Q$ contendo $p < q$ e tome um irracional $\alpha \in (p, q)$ : $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ reparte $A$ em duas peças não vazias, relativamente abertas: $A$ é desconexo. As componentes são os pontos. A compacidade local falha: uma vizinhança compacta $V$ de $0$ em $\Q$ contém $[-r, r]\cap\Q$ para algum $r > 0$ , que é fechado em $V$ , logo compacto; mas uma sequência de racionais em $[-r,r]$ que converge (em $\R$ ) a um irracional não tem subsequência convergente em $\Q$ : contradição com o Teorema 6.16.

(b) Seja $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2) \colon [0,1] \to S$ um caminho com $\gamma(0) = (0,0)$ e $\gamma(1) \in \Gamma$ . O conjunto $\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ é fechado e não contém $1$ ; seja $t^*$ seu supremo, de modo que $\gamma_1(t^*) = 0$ e $\gamma_1 > 0$ em $(t^*, 1]$ . Pela continuidade de $\gamma_2$ em $t^*$ , escolha $\delta$ com $\abs{\gamma_2(t) - \gamma_2(t^*)} < \tfrac12$ para $t \in [t^*, t^* + \delta]$ . Fixe $t_0 = t^* + \delta$ (podemos supor $\leq 1$ ): $\gamma_1(t_0) > 0$ , e $\gamma_1$ assume todos os valores de $(0, \gamma_1(t_0)]$ em $[t^*, t_0]$ (teorema do valor intermediário, Teorema 6.20). Escolha $k$ grande com $a_k = \frac1{\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ e $b_k = \frac1{3\pi/2 + 2k\pi} < \gamma_1(t_0)$ : existem $s, s' \in (t^*, t_0]$ com $\gamma_1(s) = a_k$ , $\gamma_1(s') = b_k$ ; como os pontos estão no gráfico, $\gamma_2(s) = \sin(1/a_k) = 1$ e $\gamma_2(s') = -1$ . Ambos não podem estar a menos de $\frac12$ de $\gamma_2(t^*)$ : contradição. $S$ é conexo, mas não é conexo por caminhos.

Exercício 6.10 ★★★

O conjunto de Cantor dos terços médios $C = \bigcap_n C_n$ , em que $C_0 = [0,1]$ e $C_{n+1}$ remove o terço médio aberto de cada intervalo de $C_n$ . (a) Mostre que $C = \bigl\{\sum_{n\geq1} a_n3^{-n} : a_n \in \{0,2\}\bigr\}$ , e que $C$ é compacto, de interior vazio, e não tem ponto isolado (é perfeito). (b) Mostre que $C$ é totalmente desconexo. (c) Mostre que $x \mapsto (a_n(x))_n$ é um homeomorfismo $C \to \{0,2\}^\N$ (topologia produto sobre o espaço discreto de dois pontos); deduza que $C$ é não enumerável e que $C \times C \cong C$ .

Solução

Solução de Exercício 6.10.

(a) $C_n$ consiste exatamente nos $x$ que admitem uma expansão ternária com dígitos em $\{0, 2\}$ até a ordem $n$ (indução: retirar os terços médios elimina o primeiro dígito $1$ , etc.; os extremos têm duas expansões, uma delas evitando os $1$ ), de modo que $C = \bigcap C_n$ é o conjunto das somas $\sum a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0,2\}$ . Compacto: cada $C_n$ é uma união finita de intervalos fechados; $C$ é fechado em $[0,1]$ . Interior vazio: $C \subseteq C_n$ , união de intervalos de comprimento $3^{-n}$ ; um intervalo interior de comprimento $\ell > 0$ caberia em um deles para todo $n$ . Perfeito: dados $x \in C$ e $m$ , troque o dígito $a_m$ : o novo ponto está em $C$ , é distinto e dista menos de $2\cdot3^{-m}$ de $x$ .

(b) Se $x \neq y \in C$ , suas expansões diferem pela primeira vez em alguma ordem $k$ ; entre eles está um terço médio retirado (a lacuna de ordem $k$ que separa o dígito $0$ do dígito $2$ ), fornecendo um ponto $c \notin C$ , $x < c < y$ (digamos): $C = (C \cap (-\infty, c)) \sqcup (C \cap (c, \infty))$ reparte qualquer subconjunto que contenha ambos os pontos. As componentes são os pontos.

(c) A aplicação dos dígitos $\beta\colon x \mapsto (a_n(x))$ é uma bijeção sobre $\{0,2\}^\N$ (existência e unicidade das expansões em $\{0,2\}$ : sequências de dígitos distintas dão pontos à distância $\geq 3^{-k} > 0$ na ordem em que diferem pela primeira vez, como no Problema 6.1, questão 1). Ela é contínua: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ força a coincidência dos $m$ primeiros dígitos (mesmo cálculo), de modo que $\beta$ leva bolas pequenas em blocos da base. Uma bijeção contínua do compacto $C$ no produto de Hausdorff é um homeomorfismo (Corolário 6.14; o produto é de Hausdorff: separe numa coordenada em que difiram). Não enumerabilidade: diagonal de Cantor em $\{0,2\}^\N$ . Por fim, $\{0,2\}^\N \times \{0,2\}^\N \cong \{0,2\}^\N$ intercalando dígitos (um homeomorfismo: continuidade componente a componente nos dois sentidos), de modo que $C \times C \cong C$ .

Exercício 6.11 ★★★

Projeção estereográfica: a partir do polo norte $N = (0, \dots, 0, 1)$ de $S^n \subseteq \R^{n+1}$ , a aplicação $\sigma(x) = \frac{(x_1, \dots, x_n)}{1 - x_{n+1}}$ é um homeomorfismo $S^n \setminus \{N\} \to \R^n$ (dê a inversa explicitamente). Deduza que $S^n$ é homeomorfo à compactificação por um ponto $\widehat{\R^n}$ , e que retirar qualquer ponto de $S^n$ deixa um espaço homeomorfo a $\R^n$ .

Solução

Solução de Exercício 6.11.

Para $y \in \R^n$ , ponha

\tau(y) = \Bigl(\frac{2y}{\norm y^2 + 1},\ \frac{\norm y^2 - 1}{\norm y^2 + 1}\Bigr) \in \R^n\times\R = \R^{n+1}.

Verifica-se que $\norm{\tau(y)} = 1$ , $\tau(y) \neq N$ , e $\sigma(\tau(y)) = y$ , $\tau(\sigma(x)) = x$ : $\sigma$ e $\tau$ são mutuamente inversas, ambas contínuas (fórmulas racionais com denominadores que não se anulam): $S^n\setminus\{N\} \cong \R^n$ . Estenda a $\hat\sigma \colon S^n \to \widehat{\R^n}$ por $N \mapsto \infty$ : uma bijeção, contínua em todo ponto de $S^n\setminus\{N\}$ , e em $N$ : uma vizinhança básica de $\infty$ é $\widehat{\R^n}\setminus K$ , $K$ compacto, $K \subseteq \bar B(0, R)$ ; como $\norm{\sigma(x)}^2 = \frac{1 + x_{n+1}}{1 - x_{n+1}} \to \infty$ quando $x_{n+1} \to 1$ , o conjunto $\{x \in S^n : x_{n+1} > 1 - \eta\}$ é levado para fora de $\bar B(0,R)$ para $\eta$ pequeno: continuidade. Uma bijeção contínua do compacto $S^n$ no espaço de Hausdorff $\widehat{\R^n}$ é um homeomorfismo. Retirando outro ponto $p$ : uma rotação de $S^n$ leva $p$ a $N$ (rotações são homeomorfismos), reduzindo ao caso calculado: $S^n \setminus \{p\} \cong \R^n$ .

Exercício 6.12 ★★★

(A curva seno do topólogo) Seja

T = \bigl\{(x, \sin\tfrac1x) : 0 < x \leq 1\bigr\} \cup \bigl(\{0\}\times\intcc{-1}1\bigr) \subseteq \R^2 .

(a) Mostre que $T$ é compacto e que é o fecho da parte do gráfico. (b) Mostre que $T$ é conexo (o gráfico é conexo por ser imagem contínua; seu fecho permanece conexo). (c) Mostre que $T$ não é conexo por caminhos: nenhum caminho contínuo liga $(0,0)$ a $(1, \sin1)$ . (Se $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2)$ é um tal caminho, seja $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ ; logo após $t^*$ , $\gamma_1$ assume todos os valores positivos pequenos (teorema do valor intermediário), de modo que $\gamma_2$ oscila entre $\pm1$ em todo intervalo $(t^*, t^* + \delta)$ — contradiga a continuidade em $t^*$ .) (d) Conclua que a conexidade por caminhos é estritamente mais forte do que a conexidade, e mostre que nenhum exemplo desse tipo pode ser aberto em $\R^n$ : um subconjunto aberto conexo de $\R^n$ é conexo por caminhos (o conjunto dos pontos que se podem ligar a um ponto-base por um caminho é aberto e fechado no domínio).

Solução

Solução de Exercício 6.12.

(a) $T$ é limitado e fechado: um limite de pontos de $T$ com abscissas $\to x_0 > 0$ permanece no gráfico (localmente fechado) pela continuidade de $\sin\frac1x$ em $\intoc01$ ; um limite com abscissas $\to 0$ tem ordenada em $\intcc{-1}1$ , logo está no segmento. Compacto por Heine–Borel (Corolário 6.17). Fecho do gráfico $\Gamma$ : todo ponto $(0, y)$ , $y \in \intcc{-1}1$ , é limite de pontos do gráfico — resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$ (a função varre $\intcc{-1}1$ em cada intervalo $[\frac1{(k+1)\pi}, \frac1{k\pi}]$ ): $\bar\Gamma = T$ .

(b) $\Gamma$ é a imagem contínua do conexo $\intoc01$ por $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : conexo; e o fecho de um conjunto conexo é conexo (Teorema 6.20): $T = \bar\Gamma$ é conexo.

(c) Suponha $\gamma\colon\intcc01\to T$ contínua com $\gamma(0) = (0,0)$ , $\gamma(1) = (1, \sin1)$ , e seja $t^* = \sup\{t : \gamma_1(t) = 0\}$ : por continuidade, $\gamma_1(t^*) = 0$ e $\gamma_1 > 0$ em $\intoc{t^*}1$ . Para todo $\delta > 0$ , o intervalo $\intoc{t^*}{t^*+\delta}$ tem $\gamma_1$ assumindo todos os valores de algum $\intoc0\eta$ (teorema do valor intermediário, $\gamma_1(t^* + \delta) > 0$ ); em particular, ele contém abscissas da forma $\frac1{\pi/2 + 2k\pi}$ e $\frac1{-\pi/2 + 2k\pi}$ para $k$ arbitrariamente grandes, nas quais $\gamma_2 = \pm1$ . Logo, em toda vizinhança à direita de $t^*$ , $\gamma_2$ assume ambos os valores $1$ e $-1$ : $\gamma_2$ não tem limite em $t^{*+}$ , contradizendo a continuidade. Não existe caminho.

(d) $T$ é conexo, mas não é conexo por caminhos: as duas noções diferem. Para $U \subseteq \R^n$ aberto conexo e $a \in U$ , seja $V$ o conjunto dos pontos de $U$ ligáveis a $a$ por um caminho em $U$ . $V$ é aberto: em torno de $x \in V$ , uma bola $B(x, r) \subseteq U$ é estrelada, e concatenar o caminho até $x$ com um segmento alcança todo ponto da bola. $V$ é fechado em $U$ : se $x \in U \setminus V$ , o mesmo argumento da bola mostra que $B(x, r) \cap V = \varnothing$ (um ponto de $V$ na bola ligaria $a$ a $x$ ). Não vazio ( $a \in V$ ), aberto e fechado no conexo $U$ : $V = U$ . A curva do seno escapa disso por ser fechada de interior vazio: seu ponto “ruim” $(0,0)$ não tem bola alguma dentro de $T$ para transpor as oscilações.

6.6 Problema: o conjunto de Cantor e uma curva que preenche o quadrado

Problema 6.1

Problema de fim de semana — as curvas de Peano existem, e por que não são homeomorfismos

Em 1890, Peano espantou a análise com uma sobrejeção contínua $[0,1] \to [0,1]^2$ : uma curva que preenche um quadrado. Construímos uma delas com as próprias mãos a partir do conjunto de Cantor $C$ do Exercício 6.10 (cujos resultados podem ser usados livremente) e, em seguida, demonstramos que nenhuma tal aplicação pode ser injetora: quadrados não são curvas. Ao longo de todo o problema, os elementos de $C$ são escritos $x = \sum_{n \geq 1} \frac{2b_n(x)}{3^n}$ com dígitos $b_n(x) \in \{0, 1\}$ .

Parte I — Ler dígitos de maneira contínua.

Mostre que, se $x, y \in C$ satisfazem $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , então $b_n(x) = b_n(y)$ para todo $n \leq m$ . (Se o primeiro dígito diferente é $b_k$ , então $\abs{x - y} \geq \frac{2}{3^k} - \sum_{j>k}\frac2{3^j} = \frac1{3^k}$ .)
Deduza que cada função dígito $b_n \colon C \to \{0, 1\}$ é contínua e redemonstre o homeomorfismo $C \cong \{0,1\}^\N$ do Exercício 6.10(c).

Parte II — Uma sobrejeção contínua $C \to [0,1]^2$ .

Defina $g \colon C \to [0,1]$ por $g(x) = \sum_{n\geq1} b_n(x)\,2^{-n}$ (leia os dígitos de Cantor como binários). Mostre que $g$ é contínua (use a questão 1) e sobrejetora. Ela é injetora?
Defina $\Phi \colon C \to [0,1]^2$ por

$\Phi(x) = \Bigl(\ \sum_{n\geq1} b_{2n-1}(x)\,2^{-n},\ \sum_{n\geq1} b_{2n}(x)\,2^{-n}\ \Bigr)$

(os dígitos ímpares dão a abscissa; os pares, a ordenada). Mostre que $\Phi$ é contínua e sobrejetora.

Parte III — Preenchendo as lacunas: a curva de Peano.

O complementar $[0,1] \setminus C$ é uma reunião enumerável de intervalos abertos disjuntos $(u, v)$ (os terços médios removidos) cujas extremidades estão em $C$ . Defina $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ por $f = \Phi$ em $C$ , estendida afinamente em cada lacuna:

$f(t) = \frac{v - t}{v - u}\,\Phi(u) + \frac{t - u}{v - u}\,\Phi(v), \qquad t \in (u, v).$

Mostre que $f$ está bem definida e é sobrejetora sobre $[0,1]^2$ .
Mostre que $f$ é contínua em todo ponto de $[0,1] \setminus C$ (localmente afim) e em todo ponto de $C$ : dado $\varepsilon$ , tome $m$ com $2^{-m} < \varepsilon/2$ e use a questão 1 para controlar $\Phi$ em $C$ perto de $x$ ; verifique então que a interpolação afim não pode escapar: em uma lacuna $(u,v) \subseteq (x - 3^{-m}, x + 3^{-m})$ , os valores $f(t)$ estão sobre o segmento $[\Phi(u), \Phi(v)]$ , com ambas as extremidades próximas de $\Phi(x)$ . Conclua: $f$ é uma sobrejeção contínua $[0,1] \to [0,1]^2$ .
Deduza sobrejeções contínuas $[0,1] \to [0,1]^n$ para todo $n \geq 2$ , e $\R \to \R^2$ .

Parte IV — Mas nunca injetora.

Mostre que uma injeção contínua $f \colon [0,1] \to [0,1]^2$ seria um homeomorfismo sobre sua imagem (Corolário 6.14).
Mostre que $[0,1]$ e $[0,1]^2$ não são homeomorfos: retire um ponto bem escolhido e compare a conexidade (Método 6.25).
Conclua: uma sobrejeção contínua $[0,1] \to [0,1]^2$ nunca pode ser injetora — uma injetora tornaria $[0,1]^2 = f([0,1])$ homeomorfo a $[0,1]$ pela questão 8, contradizendo a questão 9. Onde exatamente entrou no argumento a compacidade de $[0,1]$ ?
(Culminância) Junte a moral: existe uma sobrejeção contínua, mas nenhuma bijeção contínua $[0,1] \to [0,1]^2$ . O que isso diz sobre a “dimensão” como noção topológica? Formule com precisão um teorema demonstrado neste problema e um enunciado plausível que permanece fora do alcance de nossas ferramentas (invariância do domínio).

Parte V — A aritmética do conjunto de Cantor.

Demonstre que $C + C = [0, 2]$ : dado $t \in [0, 1]$ , escreva $t = \sum_n d_n3^{-n}$ com dígitos $d_n \in \{0, 1, 2\}$ e reparta cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ com $a_n, b_n \in \{0, 1\}$ ; conclua que $\frac C2 + \frac C2 = [0, 1]$ (que subconjunto de $[0,1]$ é $\frac C2$ , em termos de dígitos ternários?) e reescale. Nunca é preciso “vai um” — diga por que esse é o ponto crucial.
Interprete geometricamente: a “poeira de Cantor” $C \times C \subseteq \R^2$ , de interior vazio, projeta uma sombra cheia sobre a diagonal: a projeção $(x, y) \mapsto x + y$ a leva sobre $[0, 2]$ . Registre também a autossemelhança $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ , a equação por trás de toda figura de $C$ .
Mostre que o entrelaçamento de dígitos define um homeomorfismo $C \to C \times C$ e deduza $C \cong C^n$ para todo $n$ — o conjunto de Cantor é seu próprio quadrado, cubo, … Que espaços familiares compartilham essa propriedade?
Mostre que $\frac14 \in C$ (calcule sua expansão ternária: $\frac14 = \sum_{k\geq1} 2\cdot3^{-2k}$ ), embora $\frac14$ não seja extremidade de nenhum intervalo removido; deduza — contando as extremidades — que as extremidades formam um subconjunto enumerável e próprio de $C$ .
Mostre que a aplicação de leitura binária $g$ da questão 3 é no máximo $2$ para $1$ e descreva exatamente quais pontos de $[0,1]$ têm duas pré-imagens. ( $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ colando enumeráveis pares: a sombra combinatória da escada de Cantor, que reencontraremos no Capítulo 9.)

Parte VI — Compactos perfeitos: Cantor em toda parte. Um espaço métrico compacto não vazio $P$ é perfeito se não tem ponto isolado.

Sejam $P$ perfeito compacto, $x \in P$ e $r > 0$ . Mostre que a bola $B(x, r)$ contém dois pontos $y_0 \neq y_1$ de $P$ e, portanto, duas bolas fechadas disjuntas $\bar B(y_0, \rho)$ , $\bar B(y_1, \rho)$ dentro de $B(x, r)$ , centradas em pontos de $P$ , de raio $\rho \leq r/4$ tão pequeno quanto se queira. Explique por que a perfeição (ausência de pontos isolados) é exatamente o que permite repetir essa cisão dentro de cada uma das duas novas bolas.
Itere: construa fechados $F_w \neq \varnothing$ indexados por palavras binárias finitas $w$ , com $F_{w0}, F_{w1} \subseteq F_w$ disjuntos e $\operatorname{diam}F_w \leq 2^{-\abs w} \operatorname{diam}P$ . Mostre que, para toda palavra infinita $\varepsilon \in \{0,1\}^\N$ , a interseção $\bigcap_mF_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ é um único ponto $h(\varepsilon)$ (propriedade da interseção finita do compacto $P$ ).
Mostre que $h\colon\{0,1\}^\N \to P$ é injetora e contínua, e conclua: todo espaço métrico compacto perfeito é não enumerável — na verdade, de cardinalidade ao menos a de $\{0,1\}^\N$ . Recupere: $[0,1]$ e $C$ são não enumeráveis.
Mostre que $h$ é um homeomorfismo sobre sua imagem (injeção contínua a partir de um compacto, Corolário 6.14): todo espaço métrico compacto perfeito contém uma cópia homeomorfa do conjunto de Cantor. O conjunto de Cantor não é uma esquisitice, mas o germe universal da perfeição compacta.
Deduza que todo espaço métrico compacto enumerável tem um ponto isolado, e exiba um em que os pontos isolados são densos mas não são tudo: $K = \{0\} \cup \{\frac1n : n \geq 1\}$ .
(Cantor–Bendixson para $\R$ ) Seja $F \subseteq \R$ fechado. Diga que $x$ é um ponto de condensação de $F$ se toda vizinhança de $x$ encontra $F$ de maneira não enumerável. Mostre que os pontos de condensação de um fechado não enumerável $F$ formam um fechado perfeito não vazio $P$ , e que $F \setminus P$ é enumerável (cubra os pontos que não são de condensação por enumeráveis intervalos racionais que encontram $F$ de maneira enumerável). Conclua: todo subconjunto fechado de $\R$ é enumerável ou tem a cardinalidade do contínuo — a hipótese do contínuo vale para os fechados.

Parte VII — Codas: quão regular, e quão longe da perfeição.

(Regularidade de Hölder da curva) Ponha $\alpha = \frac{\ln 2}{2\ln 3} \approx 0.3155$ e note a identidade $3^\alpha = \sqrt2$ . Usando a questão 1, mostre que

$\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq 2\,\abs{x - y}^\alpha \qquad (x, y \in C),$

e propague a estimativa através das lacunas afins: mostre que a curva de Peano $f$ da questão 6 satisfaz $\norm{f(t) - f(s)}_\infty \leq 6\abs{t - s}^\alpha$ em todo $[0,1]$ (trate um par na mesma lacuna por interpolação, e depois um par geral passando pelos pontos extremos de $C \cap [t, s]$ ).
(O expoente $\frac12$ é uma barreira) Mostre que nenhuma sobrejeção $F \colon [0,1] \to [0,1]^2$ pode ser $\alpha$ -hölderiana com $\alpha > \frac12$ : corte $[0,1]$ em $N$ intervalos, limite os diâmetros de suas imagens e conte os pontos da grade $\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)$ , $0 \leq i, j \leq M$ , que um conjunto de diâmetro $< \frac1M$ pode conter; escolha $M$ da ordem de $N^\alpha$ e faça $N \to \infty$ . Localize nossa curva ( $\alpha \approx 0.3155$ ) em relação à barreira e registre, sem demonstração, que a curva de Hilbert atinge o expoente crítico $\frac12$ .
(Conjuntos derivados: medindo a imperfeição) Para $F$ fechado em $\R$ , seja $F'$ o conjunto dos pontos de acumulação de $F$ (um fechado), e itere: $F^{(0)} = F$ , $F^{(i+1)} = (F^{(i)})'$ . Verifique que

$K = \{0\} \cup \Bigl\{\frac1m\Bigr\}_{m \geq 1} \cup \Bigl\{\frac1m + \frac1n : m \geq 1,\ n > m^2\Bigr\}$

é um compacto enumerável com $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , $K'' = \{0\}$ , $K''' = \varnothing$ (verifique que o $m$ -ésimo aglomerado vive no intervalo $(\frac1m, \frac1{m-1})$ , de modo que os aglomerados não se entrelaçam), e que seus pontos isolados são densos em $K$ , como prevê a questão 21. Descreva a indução que produz, para todo $j$ , um compacto enumerável $K_j$ com $K_j^{(j)} = \{0\}$ e $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , e contraste com os conjuntos perfeitos da questão 22, para os quais a derivação nunca se move: ter posto finito é o exato oposto da perfeição.

Solução

Solução de Problema 6.1.

1. Suponha que as expansões de $x, y \in C$ difiram pela primeira vez na ordem $k \leq m$ , digamos $b_k(x) = 1$ , $b_k(y) = 0$ . Então

x - y \;\geq\; \frac{2}{3^k} - \sum_{j > k}\frac{2}{3^j} = \frac{2}{3^k} - \frac{1}{3^k} = \frac1{3^k} \geq \frac1{3^m}:

contrapositiva: $\abs{x - y} < 3^{-m}$ força a coincidência até a ordem $m$ .

2. Pela questão 1, $b_n$ é constante em $C \cap (x - 3^{-n}, x + 3^{-n})$ : localmente constante, logo contínua. A aplicação $x \mapsto (b_n(x))_n \in \{0,1\}^\N$ é contínua (componente a componente, Proposição 6.10(a)) e bijetora (unicidade das expansões em dígitos $\{0,2\}$ ); do compacto $C$ em um espaço de Hausdorff, é um homeomorfismo (Corolário 6.14).

3. Continuidade: se $\abs{x - y} < 3^{-m}$ , os $m$ primeiros dígitos coincidem, de modo que $\abs{g(x) - g(y)} \leq \sum_{n > m}2^{-n} = 2^{-m}$ . Sobrejetividade: todo $t \in [0,1]$ tem uma expansão binária $t = \sum b_n2^{-n}$ , e $t = g\bigl(\sum 2b_n3^{-n}\bigr)$ . Não injetiva: $g$ identifica os dois pontos de Cantor de dígitos $(0,1,1,1,\dots)$ e $(1,0,0,\dots)$ — ambos vão para $\frac12$ (a ambiguidade diádica $0.0111\ldots_2 = 0.1000\ldots_2$ ).

4. Cada componente de $\Phi$ é contínua pela mesma estimativa (seus dígitos são uma subsequência dos $b_n$ ). Sobrejetividade: dado $(s, t) \in [0,1]^2$ , escolha dígitos binários $(c_n)$ de $s$ e $(d_n)$ de $t$ , e intercale: o ponto $x \in C$ com $b_{2n-1}(x) = c_n$ , $b_{2n}(x) = d_n$ satisfaz $\Phi(x) = (s,t)$ .

5. As lacunas são duas a duas disjuntas, com extremos em $C$ , de modo que a fórmula define $f$ sem ambiguidade em $[0,1]$ ; nos extremos de uma lacuna, a fórmula afim devolve $\Phi(u)$ , $\Phi(v)$ : coerente com $f = \Phi$ em $C$ . Sobrejetividade: já $f(C) = \Phi(C) = [0,1]^2$ .

6. Em $t_0 \notin C$ : $t_0$ está numa lacuna aberta em que $f$ é afim: contínua. Em $x \in C$ : registremos primeiro duas estimativas.

(i) Em $C$ : se $\abs{y - x} \leq 3^{-M}$ , $y \in C$ , então os dígitos coincidem até $M$ , de modo que cada componente de $\Phi(y) - \Phi(x)$ é no máximo $\sum_{n > \lfloor M/2\rfloor} 2^{-n} = 2^{-\lfloor M/2\rfloor}$ .

(ii) Através de uma lacuna: uma lacuna $(u,v)$ retirada na etapa $k$ tem comprimento $3^{-k}$ , e seus extremos têm dígitos que coincidem até a ordem $k - 1$ (eles diferem a partir da ordem $k$ ), de modo que $\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor (k-1)/2\rfloor}$ .

Agora sejam $\abs{t - x} < 3^{-M}$ com $t$ numa lacuna $(u, v)$ da etapa $k$ , e digamos que $u$ seja o extremo do lado de $x$ , de modo que $\abs{u - x} < 3^{-M}$ e $0 < t - u < 3^{-M}$ . Então

\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq \norm{\Phi(u) - \Phi(x)}_\infty + \frac{t - u}{v - u}\,\norm{\Phi(v) - \Phi(u)}_\infty \leq 2^{-\lfloor M/2\rfloor} + \min\bigl(1,\ 3^{k - M}\bigr)\, 2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} .

Para $k \geq M$ , o último termo é $\leq 2^{-\lfloor(M-1)/2 \rfloor}$ ; para $k < M$ , como $2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\cdot 2^{-k/2}$ ,

3^{k-M}\,2^{-\lfloor(k-1)/2\rfloor} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{k} 3^{-M} \leq \sqrt2\,\Bigl(\frac{3}{\sqrt2}\Bigr)^{M} 3^{-M} = \sqrt2\; 2^{-M/2}

(a quantidade do meio cresce com $k$ ). Em todos os casos $\norm{f(t) - \Phi(x)}_\infty \leq C\,2^{-M/2}$ com uma constante absoluta $C$ : fazendo $M \to \infty$ , obtém-se a continuidade em $x$ (os pontos $t \in C$ estão cobertos por (i)). Logo $f$ é uma sobrejeção contínua $[0,1] \to [0,1]^2$ — de fato, as estimativas mostram que ela é hölderiana de expoente do tipo $\log 2/(2\log 3)$ , mas continuidade é tudo o que afirmamos.

7. Para $[0,1]^n$ : reparta os dígitos de $x \in C$ em $n$ subsequências intercaladas e repita as questões 4–6 literalmente. Para $\R \to \R^2$ : seja $h \colon [0,1] \to [-1,1]^2$ uma sobrejeção contínua (reescale $f$ ). Defina $F$ em $[m, m + \frac12]$ ( $m \in \Z$ ) como uma cópia de $h$ reescalada para preencher $[-(m+1), m+1]^2$ para $m \geq 0$ (e simetricamente para $m < 0$ ), e em $[m + \frac12, m + 1]$ como o segmento afim que liga os valores nos extremos: $F$ é contínua (colagem em peças fechadas, Proposição 6.6(b)) e sua imagem contém $\bigcup_m [-(m+1), m+1]^2 = \R^2$ .

8. $[0,1]$ é compacto e $[0,1]^2$ é de Hausdorff: uma injeção contínua é um homeomorfismo sobre sua imagem (Corolário 6.14 aplicado à correstrição).

9. Retire $\frac12$ : $[0,1]\setminus\{\frac12\}$ é desconexo. Se $h \colon [0,1] \to [0,1]^2$ fosse um homeomorfismo, $[0,1]^2\setminus\{h(\frac12)\}$ também seria desconexo (imagens homeomorfas de espaços desconexos são desconexas); mas o quadrado menos um ponto é conexo por caminhos: ligue dois pontos por um caminho de dois segmentos que evite o furo. Contradição: $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ .

10. Pela questão 8, uma sobrejeção contínua injetora $[0,1] \to [0,1]^2$ seria um homeomorfismo, contradizendo a questão 9. A compacidade entrou exatamente no Corolário 6.14: é ela que torna contínua a inversa da bijeção contínua (imagens de fechados são compactas, logo fechadas). Sem compacidade, a conclusão realmente falha: $[0, 2\pi) \to S^1$ é uma bijeção contínua que não é um homeomorfismo.

11. Demonstrado aqui: existe uma sobrejeção contínua, mas nenhuma bijeção contínua, de $[0,1]$ sobre $[0,1]^2$ ; em particular $[0,1] \not\cong [0,1]^2$ . Assim, a “dimensão” não é preservada por sobrejeções contínuas — a cardinalidade e mesmo a continuidade não a enxergam —, mas ela é um invariante topológico no nível dos homeomorfismos, ao menos entre as dimensões $1$ e $2$ , em que a conexidade após a remoção de um ponto basta. O enunciado geral — a invariância do domínio: $\R^m \cong \R^n$ implica $m = n$ , e uma injeção contínua $\R^n \to \R^n$ é aberta — é verdadeiro, mas exige topologia algébrica (homologia), fora do alcance deste curso.

12. Em base três, $\frac C2 = \{\sum_na_n3^{-n} : a_n \in \{0, 1\}\}$ (dividir por dois os dígitos $\{0,2\}$ dá os dígitos $\{0,1\}$ ). Para $t \in [0,1]$ , tome uma expansão ternária qualquer $t = \sum_nd_n3^{-n}$ , $d_n \in \{0,1,2\}$ , e reparta cada dígito como $d_n = a_n + b_n$ com $a_n, b_n \in \{0,1\}$ ( $0 = 0{+}0$ , $1 = 1{+}0$ , $2 = 1{+}1$ ): então $t \in \frac C2 + \frac C2$ . O ponto crucial é que cada dígito se reparte dentro de $\{0,1\}$ , de modo que nenhum transporte se propaga e os dígitos podem ser tratados independentemente. A inclusão recíproca é clara (as somas de dígitos permanecem $\leq 2$ ). Reescalando por $2$ : $C + C = [0,2]$ .

13. A aplicação $(x, y) \mapsto x + y$ leva $C \times C$ sobre $C + C = [0,2]$ : a poeira, que não contém nenhum quadrado (interior vazio: Exercício 6.10), se projeta ao longo da antidiagonal sobre um segmento inteiro. Autossemelhança: o primeiro dígito ternário de um ponto de Cantor é $0$ ou $2$ , e retirá-lo dá $C = \frac C3 \cup \bigl(\frac C3 + \frac23\bigr)$ — a equação de ponto fixo que gera toda figura de $C$ .

14. Através de $C \cong \{0,1\}^\N$ (questão 2), a intercalação $(\varepsilon, \varepsilon') \mapsto (\varepsilon_1, \varepsilon_1', \varepsilon_2, \varepsilon_2', \dots)$ é uma bijeção $\{0,1\}^\N\times\{0,1\}^\N \to \{0,1\}^\N$ , contínua nos dois sentidos (cada coordenada de saída depende de uma única coordenada de entrada; topologia produto). Logo $C\times C \cong C$ e, indutivamente, $C^n \cong C$ . Espaços familiares não compartilham isso: $\R^2 \not\cong \R$ e $[0,1]^2 \not\cong [0,1]$ (questão 11); produtos infinitos, sim: $([0,1]^\N)^2 \cong [0,1]^\N$ pela mesma intercalação.

15. $\sum_{k\geq1}2\cdot3^{-2k} = 2\cdot\frac{1/9}{1 - 1/9} = \frac14$ : a expansão ternária de $\frac14$ é $0.\overline{02}$ , com dígitos em $\{0,2\}$ , de modo que $\frac14 \in C$ ; não sendo nem uma expansão finita nem uma de cauda $2$ a partir de certa ordem, ele não é extremo de nenhum terço médio retirado. Os extremos formam um conjunto enumerável (dois por intervalo retirado, uma infinidade enumerável de intervalos), ao passo que $C \cong \{0,1\}^\N$ não é enumerável (argumento diagonal, ou questão 19): quase todo ponto de Cantor é, como $\frac14$ , invisível na figura habitual dos extremos.

16. $g(x) = g(y)$ significa que as sequências binárias $(b_n(x))$ , $(b_n(y))$ representam o mesmo real. Sequências binárias distintas que representam o mesmo número ocorrem exatamente na ambiguidade diádica $0.w01^\infty = 0.w10^\infty$ : no máximo duas pré-imagens, e exatamente duas precisamente nos racionais diádicos de $(0,1)$ . Assim $g$ colapsa $C$ sobre $[0,1]$ colando uma infinidade enumerável de pares — o esqueleto combinatório da escada de Cantor do Capítulo 9.

17. $x$ não é isolado em $P$ , de modo que $B(x, r/2)$ contém algum $y_0 \in P \setminus \{x\}$ ; $y_0$ tampouco é isolado, de modo que $B(x, r/2)$ contém um segundo ponto $y_1 \in P$ . Qualquer $\rho \leq \min\bigl(\frac{d(y_0,y_1)}3, \frac r4\bigr)$ torna $\bar B(y_0, \rho)$ e $\bar B(y_1, \rho)$ disjuntas e contidas em $B(x, r)$ . Ambas estão centradas em pontos de $P$ , onde a mesma extração de dois pontos pode ser repetida: a perfeição é o suprimento inesgotável de pontos próximos que mantém a recursão viva para sempre.

18. Construa $F_w$ por indução sobre o comprimento da palavra: $F_\varnothing = P$ , e, dentro de cada bola $B(y_w, \rho_w)$ , a questão 17 fornece duas bolas fechadas disjuntas de raio $\leq \min(\rho_w/2,\ 2^{-\abs w-1}\operatorname{diam}P)$ centradas em pontos de $P$ ; ponha $F_{wi} = \bar B(y_{wi}, \rho_{wi}) \cap P$ : não vazia (seu centro) e compacta. Para $\varepsilon$ infinita, os compactos não vazios encaixados $F_{\varepsilon_1\cdots\varepsilon_m}$ têm interseção não vazia (propriedade da interseção finita no compacto $P$ ), de diâmetro $0$ : um único ponto $h(\varepsilon)$ .

19. Palavras que diferem pela primeira vez na ordem $m$ mandam suas imagens para os dois conjuntos disjuntos $F_{w0}, F_{w1}$ (prefixo comum $w$ ): $h$ é injetiva. Se duas palavras coincidem até a ordem $m$ , ambas as imagens estão num conjunto de diâmetro $\leq 2^{-m}\operatorname{diam}P$ : $h$ é contínua. Logo o não enumerável $\{0,1\}^\N$ se injeta em $P$ : todo espaço métrico compacto perfeito é não enumerável — $[0,1]$ e $C$ entre eles.

20. $h$ é uma injeção contínua do compacto $\{0,1\}^\N$ no espaço de Hausdorff (métrico) $P$ : o Corolário 6.14 a promove a um homeomorfismo sobre sua imagem; e $\{0,1\}^\N \cong C$ (questão 2). Todo espaço métrico compacto perfeito contém uma cópia do conjunto de Cantor: a perfeição tem um germe universal, e ele é o de Cantor.

21. Um espaço métrico compacto enumerável não pode ser perfeito (questão 19), de modo que ele tem um ponto isolado. Em $K = \{0\}\cup\{\frac1n : n \geq 1\}$ , todo ponto $\frac1n$ é isolado e $0$ não é: pontos isolados podem até ser densos sem que o espaço seja discreto — a compacidade mantém seu limite dentro.

22. Seja $P$ o conjunto dos pontos de condensação de $F$ e $\mathcal B$ a família enumerável dos intervalos abertos de extremos racionais. Todo ponto de $F$ que não é de condensação está em algum $I \in \mathcal B$ com $I \cap F$ enumerável, de modo que $F \setminus P$ está contido na união desses traços enumeráveis, em quantidade enumerável: enumerável. Como $F$ é não enumerável, $P \neq \varnothing$ ; $P$ é fechado (se $x \notin P$ , o intervalo testemunha $I$ não contém ponto de condensação algum: $I \cap F$ enumerável) e $P \subseteq F$ ( $F$ fechado: um ponto de condensação é, em particular, aderente). $P$ é perfeito: se $I \cap P = \{x\}$ para algum intervalo $I$ , então $I \cap F \subseteq \{x\} \cup (F \setminus P)$ seria enumerável, contradizendo $x \in P$ . Agora a construção em árvore das questões 17–19 vale literalmente dentro de $P$ : as peças $\bar B(y, \rho) \cap P$ são compactas (subconjuntos fechados e limitados de $\R$ ), todo centro é não isolado em $P$ , e o argumento nunca usou mais do que isso. Logo $\abs P \geq \abs{\{0,1\}^\N} = \mathfrak c$ , e $\abs F \leq \mathfrak c$ trivialmente: um fechado não enumerável $F \subseteq \R$ tem cardinalidade exatamente $\mathfrak c$ . Conjuntos fechados não podem testemunhar uma falha da hipótese do contínuo.

23. Sejam $x \neq y$ em $C$ e escolha $m \geq 0$ com $3^{-(m+1)} \leq \abs{x - y} < 3^{-m}$ . Pela questão 1, os dígitos $b_n(x) = b_n(y)$ coincidem para $n \leq m$ ; a primeira coordenada de $\Phi$ usa $b_1, b_3, \dots$ , a segunda $b_2, b_4, \dots$ , de modo que, em cada coordenada, os dois pontos partilham ao menos $\lfloor m/2\rfloor$ dígitos binários iniciais:

\norm{\Phi(x) - \Phi(y)}_\infty \leq \sum_{k > \lfloor m/2\rfloor}2^{-k} = 2^{-\lfloor m/2\rfloor} \leq \sqrt2\cdot2^{-m/2} = \sqrt2\,\bigl(3^{-m}\bigr)^\alpha \leq \sqrt2\,\bigl(3\abs{x-y}\bigr)^\alpha,

usando $2^{-m/2} = 3^{-m\alpha}$ (tome logaritmos); e $\sqrt2\cdot3^\alpha = \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ : a cota $2\abs{x-y}^\alpha$ em $C$ . Mesma lacuna $(u, v)$ : $f$ é afim ali, de modo que, para $t, s \in [u, v]$ ,

\norm{f(t) - f(s)} = \frac{\abs{t-s}}{v-u}\, \norm{\Phi(v) - \Phi(u)} \leq \frac{\abs{t-s}}{v-u}\,2(v-u)^\alpha \leq 2\abs{t-s}^\alpha,

pois $\frac{\abs{t-s}}{v-u} \leq \bigl(\frac{\abs{t-s}} {v-u}\bigr)^\alpha$ quando $\abs{t-s} \leq v - u$ . Caso geral $t < s$ : se $[t, s]$ encontra $C$ , sejam $u'$ e $v'$ o menor e o maior ponto do compacto $C \cap [t, s]$ ; então $t$ está numa lacuna (ou num ponto de $C$ ) cujo extremo direito é $u'$ , $s$ numa cujo extremo esquerdo é $v'$ , e

\norm{f(t) - f(s)} \leq 2\abs{t - u'}^\alpha + 2\abs{v' - u'}^\alpha + 2\abs{s - v'}^\alpha \leq 6\abs{t - s}^\alpha ;

se $[t, s]$ não encontra $C$ , aplica-se o caso da mesma lacuna. Logo $f$ é $\alpha$ -hölderiana com $\alpha = \frac{\ln2}{2\ln3}$ .

24. Suponha $\norm{F(t) - F(s)} \leq C\abs{t-s}^\alpha$ com $F$ sobrejetora e $\alpha > \frac12$ . Corte $[0,1]$ em $N$ intervalos $I_1, \dots, I_N$ de comprimento $\frac1N$ : cada imagem $F(I_j)$ tem diâmetro $\leq CN^{-\alpha}$ . Dois pontos distintos da grade $G_M = \bigl\{\bigl(\frac iM, \frac jM\bigr)\bigr\}_{0 \leq i, j \leq M}$ estão à distância $\geq \frac1M$ , de modo que um conjunto de diâmetro $< \frac1M$ contém no máximo um deles. Escolha $M = \lfloor N^\alpha/(2C)\rfloor$ (com $N$ grande): então $CN^{-\alpha} \leq \frac1{2M} < \frac1M$ , e a sobrejetividade coloca cada um dos $(M+1)^2$ pontos da grade em algum $F(I_j)$ , donde

\frac{N^{2\alpha}}{4C^2} \leq (M + 1)^2 \leq N,

e $N^{2\alpha - 1} \leq 4C^2$ falha para $N$ grande quando $2\alpha > 1$ : contradição. Nossa curva, com $\alpha \approx 0.3155$ , fica abaixo do muro, como deve ser; a curva de Hilbert (admitida) é $\frac12$ -hölderiana, de modo que o expoente crítico $\frac12$ é atingido — a regularidade hölderiana, ao contrário da injetividade, é uma questão de grau, e $\frac12$ é exatamente a fronteira que a dimensão $2$ impõe a uma aplicação vinda da dimensão $1$ .

25. O $m$ -ésimo aglomerado $\{\frac1m + \frac1n : n > m^2\}$ está em $\bigl(\frac1m, \frac1m + \frac1{m^2}\bigr] \subseteq \bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ para $m \geq 2$ , pois $\frac1{m-1} - \frac1m = \frac1{m(m-1)} > \frac1{m^2}$ (e o primeiro aglomerado está em $(1, \frac32]$ ): os aglomerados ocupam intervalos disjuntos. Pontos limites de $K$ : dentro do $m$ -ésimo intervalo, apenas $\frac1m$ (o aglomerado converge para ele e é discreto em si mesmo); globalmente, $0$ (toda vizinhança de $0$ contém aglomerados inteiros). Assim $K' = \{0\} \cup \{\frac1m\}$ , depois $K'' = \{0\}$ (cada $\frac1m$ é isolado em $K'$ ), $K''' = \varnothing$ ; $K$ contém seus pontos limites, logo é fechado, limitado, enumerável, compacto, e seus pontos isolados — os pontos dos aglomerados $\frac1m + \frac1n$ — são densos em $K$ : todo elemento de $K'$ é limite deles, como o mecanismo da questão 21 prevê. Indução: $K_1 = \{0\}\cup\{\frac1n\}$ tem $K_1^{(1)} = \{0\}$ ; dado um compacto enumerável $K_j \subseteq [0, 1]$ com $K_j^{(j)} = \{0\}$ e $K_j^{(j+1)} = \varnothing$ , ponha

K_{j+1} = \{0\} \cup \bigcup_{m \geq 1} \Bigl(\frac1m + \varepsilon_m K_j\Bigr),

com $\varepsilon_m$ pequeno o bastante para que a $m$ -ésima cópia esteja em $\bigl(\frac1m, \frac1{m-1}\bigr)$ . A derivação age cópia a cópia (as cópias vivem em intervalos abertos disjuntos), de modo que $K_{j+1}^{(i)} = \{0\} \cup \bigcup_m\bigl(\frac1m + \varepsilon_mK_j^{(i)}\bigr)$ para $i \leq j$ ; em $i = j$ isso se lê $\{0\} \cup \{\frac1m\}$ , e então $K_{j+1}^{(j+1)} = \{0\}$ e $K_{j+1}^{(j+2)} = \varnothing$ . Toda ordem finita ocorre. Um conjunto perfeito é o outro extremo: $P' = P$ , a derivação nunca se move — e Cantor–Bendixson (questão 22) diz precisamente que todo fechado se reparte em um núcleo perfeito, invisível à derivação, e um resto enumerável que a derivação vai comendo.