Qu'est-ce que « espace localement compact » ?

$X$ est localement compact s’il est séparé et si tout point admet un voisinage compact ($\R^n$ ; ouverts de $\R^n$ ; espaces discrets — mais pas $\Q$, voir Exercice 6.9). Tout espace localement compact s’immerge dans un compact : la compactification d’Alexandroff $\hat X = X \cup \{\infty\}$, dont les ouverts sont ceux de $X$ ainsi que les complémentaires (dans $\hat X$) des parties compactes de $X$. On vérifie les axiomes directement ; $\hat X$ est compact (un recouvrement a un membre contenant $\infty$, dont le complémentaire est compact, recouvert par un nombre fini d’autres) et séparé (séparer $x$ de $\infty$ par un voisinage compact de $x$ et son complémentaire). Exemple : $\hat\R \cong S^1$, et $\widehat{\R^n} \cong S^n$ par projection stéréographique (Exercice 6.11).