O que é Operações com conjuntos? — Matemática

Definição 1.16 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 1 — Lógica, Conjuntos e Aplicações

Tomamos como primitivas a noção de conjunto e a relação de pertinência $x \in E$ . Para conjuntos $A, B$ dentro de um conjunto ambiente $E$ :

inclusão: $A \subseteq B$ quando $\forall x,\ x \in A \implies x \in B$ ; igualdade $A = B$ quando $A \subseteq B$ e $B \subseteq A$ ;
união $A \cup B$ , interseção $A \cap B$ , diferença $A \setminus B = \{x \in A : x \notin B\}$ , complementar $\overline{A} = E \setminus A$ ;
o conjunto vazio $\emptyset$ , contido em todo conjunto;
o conjunto das partes $\mathcal{P}(E)$ : o conjunto de todos os subconjuntos de $E$ ;
o produto $E \times F$ : o conjunto dos pares ordenados $(x, y)$ com $x \in E$ , $y \in F$ .

Exemplos

Exemplo 1.17 (Familiarizando-se com o conjunto das partes)

Para $E = \{a, b\}$ :

\mathcal P(E) = \bigl\{\, \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\} \,\bigr\},

quatro elementos — e note a disciplina de níveis: $a \in E$ , mas $\{a\} \in \mathcal P(E)$ ; as proposições $a \in \mathcal P(E)$ e $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ são ambas falsas tal como escritas (a segunda exigiria que $a$ fosse um subconjunto de $E$ ). Iterando a partir do nada: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ tem um elemento, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ tem dois, o seguinte tem quatro — conjuntos de conjuntos são conjuntos como quaisquer outros, e o Capítulo 2 confirmará o padrão de duplicação: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$ . Manter os níveis ( $x$ , $\{x\}$ , $\{\{x\}\}$ ) bem separados é metade da batalha em exercícios como o Exercícios 1.11 e 1.12.

Exemplo 1.27 (O ponto (2) não pode ser reforçado)

Na Proposição 1.26 (2), não se pode reforçar as conclusões: $g \circ f$ bijetiva não obriga $f$ a ser sobrejetiva nem $g$ a ser injetiva. Tome $E = G = \{1\}$ , $F = \{1, 2\}$ , com $f(1) = 1$ e $g(1) = g(2) = 1$ : então $g \circ f = \mathrm{id}_E$ é bijetiva e, no entanto, $f$ não atinge o elemento $2$ e $g$ colapsa os dois elementos. A moral é uma regra precisa de escrituração: a informação da composta flui para a aplicação interna no caso da injetividade e para a aplicação externa no caso da sobrejetividade, nunca no sentido contrário. (O Exercício 1.9 constrói o mesmo fenômeno com conjuntos infinitos, onde ele é o motor por trás das inversas unilaterais.)

Exemplo 1.32

Em $\Z$ , a congruência módulo $n$ ( $x \equiv y \pmod n$ quando $n$ divide $x - y$ ) é uma relação de equivalência; suas classes são os $n$ conjuntos de inteiros com um dado resto na divisão por $n$ . Este exemplo torna-se o anel $\Z/n\Z$ no Capítulo 7.

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