32خرائط الأرض كلها

في كثير من خرائط الجدران المدرسية، تبدو غرينلاند بحجم إفريقيا تقريبًا. أما على مجسم الكرة الأرضية، فإفريقيا أكبر بنحو أربع عشرة مرة: نحو 29 مليون كيلومتر مربع للبر الإفريقي الرئيسي، مقابل نحو 2.1 مليون لغرينلاند. وكلتا الصورتين صورة صادقة للأرض، صُنعت بعناية. فأيهما تكذب، ولماذا؟

ما تعرفه من قبل

الخريطة رسم لمكان كما يُرى من أعلى، أصغر من المكان، لها مفتاح ومقياس رسم (الفصل 4). ومجسم الكرة الأرضية نموذج صغير للأرض المستديرة؛ وخريطة العالم تُظهر الأرض كلها مسطحة، في صورة واحدة (الفصل 6). ودوائر العرض وخطوط الزوال تعطي كل مكان عرضه الجغرافي وطوله الجغرافي (الفصل 14). والارتفاع هو العلو فوق مستوى سطح البحر، والخريطة الطبيعية تُظهر التضاريس بالألوان (الفصل 9). وفي الفيزياء، تتعلم أن الضوء ينتقل بسرعة نحو $300\,000\,\mathrm{km}$ في الثانية.

32.1 لماذا يجب أن تشوّه الخريطة المسطحة

حاول أن تبسط قشر برتقالة على طاولة: فإما أن يتمزق وإما أن يتمدد. فسطح الكرة لا يمكن بسطه دون تغيير بعض الأطوال. ولرسم الأرض كلها على ورقة، يختار راسم الخرائط قاعدة ترسل كل نقطة من الكرة الأرضية إلى نقطة من الورقة، ويختار ما ستحفظه الخريطة صحيحًا، وما ستتخلى عنه.

تعريف 32.1 (الإسقاط الخرائطي)

الإسقاط الخرائطي قاعدة ترسل كل نقطة من الكرة الأرضية، معطاة بعرضها وطولها الجغرافيين، إلى نقطة من خريطة مسطحة. ففي إسقاط مركاتور، تكون دوائر العرض وخطوط الزوال خطوطًا مستقيمة تتقاطع بزوايا قائمة، ويُحفظ شكل كل منطقة صغيرة، لكن المساحات تُكبَّر أكثر فأكثر كلما اقتربنا من القطبين. وفي الإسقاط المتساوي المساحة، تحفظ كل منطقة مساحتها الحقيقية مقارنةً بالمناطق الأخرى، لكن الأشكال تنثني، أكثر فأكثر كلما اقتربنا من أطراف الخريطة.

يرسم الشكل أدناه الدوائر المتساوية نفسها على الكرة الأرضية، وكلها بالحجم نفسه، على الخريطتين. ففي خريطة مركاتور، تبقى الدوائر مستديرة لكنها تكبر نحو القطبين: فعند خط العرض $60{}^{\circ}$، تبلغ مساحتها أربعة أضعاف ما هي عليه عند خط الاستواء، وقرب وسط غرينلاند، عند نحو $72{}^{\circ}$، نحو عشرة أضعاف. وفي الخريطة المتساوية المساحة، تحفظ الدوائر كلها المساحة نفسها، لكن البعيدة منها عن المركز تنضغط فتصير أشكالًا بيضوية.

ليس هناك إسقاط هو الأفضل لكل شيء. فقد صُنع إسقاط مركاتور للبحارة: فالمسار الذي يحافظ على اتجاه البوصلة نفسه خط مستقيم عليه. ولمقارنة مساحات البلدان أو الغابات أو الصحارى، تقول الخريطة المتساوية المساحة الحقيقة. وقبل الوثوق بخريطة للعالم، يجدر السؤال عن الإسقاط الذي تستعمله.

مثال 32.2 (غرينلاند وإفريقيا)

يغطي البر الإفريقي الرئيسي نحو 29 مليون $\mathrm{km}^{2}$، وغرينلاند نحو 2.1 مليون $\mathrm{km}^{2}$: $29 \div 2.1 \approx 14$. وإفريقيا تمتد على جانبي خط الاستواء، حيث لا يكاد إسقاط مركاتور يكبّر شيئًا، بينما يقع معظم غرينلاند بين نحو $60{}^{\circ}$ و$84{}^{\circ}$ شمالًا، حيث تُكبَّر المساحات من 4 إلى أكثر من 10 أضعاف. وفي خريطة مركاتور، تظهر الاثنتان بالحجم نفسه تقريبًا.

32.2 مقياس الرسم

خريطة وادٍ أو بلدة قطعة صغيرة جدًا من الأرض حتى إن الإسقاط لا يكاد يهم. وما يهم هو كم تصغر الخريطة عن الأرض.

تعريف 32.3 (المقياس العددي والمقياس الخطي)

المقياس العددي لخريطة نسبة مثل $1 : 25\,000$: فالسنتيمتر الواحد على الخريطة يمثل $25\,000$ سنتيمتر على الأرض، وكذلك لأي وحدة. والمقياس الخطي مسطرة مرسومة على الخريطة، معلَّمة بالمسافات على الأرض.

طريقة 32.4 (استعمال المقياس العددي)

1. قس المسافة على الخريطة، بالسنتيمترات.
2. اضربها في العدد الذي بعد النقطتين: فالنتيجة هي المسافة على الأرض، بالسنتيمترات.
3. حوّل: اقسم على 100 للحصول على الأمتار، وعلى $100\,000$ للحصول على الكيلومترات.

مثال 32.5 (نزهة على خريطة بمقياس $1 : 25\,000$)

على خريطة بمقياس $1 : 25\,000$، يبلغ طول درب $6\,\mathrm{cm}$. وعلى الأرض، يبلغ $6 \times 25\,000 = 150\,000$ cm، أي $1500\,\mathrm{m}$ أو $1.5\,\mathrm{km}$. وكل سنتيمتر من الخريطة يمثل $250\,\mathrm{m}$.

للمقياس الخطي ميزة على المقياس العددي: فحين تُكبَّر الخريطة أو تُصغَّر على شاشة أو آلة نسخ، تُكبَّر المسطرة أو تُصغَّر معها فتبقى صحيحة، بينما تصير النسبة المطبوعة في الزاوية خاطئة.

32.3 الخريطة الطبوغرافية

تُظهر الخريطة الطبيعية التضاريس بالألوان. أما خريطة منطقة صغيرة فتُظهرها بدقة أكبر بكثير، بالخطوط.

تعريف 32.6 (الخريطة الطبوغرافية)

الخريطة الطبوغرافية خريطة مفصلة لمنطقة صغيرة، بمقياس مثل $1 : 25\,000$ أو $1 : 50\,000$، تُظهر شكل الأرض وارتفاعها، مع الأنهار والطرق والدروب والمباني والغابات.

تعريف 32.7 (خط الكنتور والفاصل الكنتوري)

خط الكنتور خط على الخريطة يصل بين نقاط من الأرض لها الارتفاع نفسه. والفاصل الكنتوري هو الفرق في الارتفاع بين خطي كنتور متجاورين؛ وهو نفسه في الخريطة كلها.

تخيّل تلة تقطعها مستويات أفقية، واحد كل $100\,\mathrm{m}$. فكل مقطع يقطع التلة على طول خط مغلق؛ ومن أعلى، تكون هذه الخطوط خطوط الكنتور.

تُقرأ الخريطة الطبوغرافية ببضع قواعد.

• خطوط الكنتور لا تتقاطع أبدًا: فللنقطة ارتفاع واحد فقط.
• كلما تقاربت خطوط الكنتور، اشتد الانحدار؛ وإذا تباعدت، كانت الأرض لطيفة الانحدار؛ وإذا غابت الخطوط، كانت شبه مستوية.
• الخطوط المغلقة المتداخلة بعضها في بعض، التي يزداد ارتفاعها نحو الداخل، تدل على تلة؛ وكثيرًا ما تُعلَّم قمتها بنقطة مع ارتفاعها، وهي نقطة الارتفاع.
• حيث يعبر خط كنتور واديًا، ينثني نحو المنبع، على شكل حرف V يشير نحو رأس الوادي.
• كل خامس خط، وهو خط الكنتور الرئيسي، يُرسم أغلظ ويُكتب عليه ارتفاعه.

انحدار الأرض بين نقطتين هو الارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية، ويُكتب كثيرًا نسبةً مئوية. وفي الخريطة أدناه، بالاتجاه شمالًا من النهر، يبعد خطا الكنتور $200\,\mathrm{m}$ و$400\,\mathrm{m}$ على الخط C–D أحدهما عن الآخر نحو $0.75\,\mathrm{km}$: فالانحدار نحو $200 \div 750 \approx 0.27$، أي $27\,\%$.

طريقة 32.8 (رسم مقطع طبوغرافي)

1. ارسم خط المقطع على الخريطة، من طرف (C) إلى الطرف الآخر (D).
2. ضع الحافة المستقيمة لشريط من الورق على طول الخط؛ وعلّم C وD، وكل نقطة يعبر فيها الخط خط كنتور، مع ارتفاعها.
3. ارسم محورًا أفقيًا بطول C–D (المسافات) ومحورًا رأسيًا للارتفاعات.
4. انقل كل علامة إلى الرسم البياني، عند مسافتها من C وعند ارتفاعها، وصِل النقاط بمنحنى أملس: مستديرًا عند قمم التلال، ومستويًا على طول قاع الوادي.

32.4 صور الأقمار الصناعية للأرض

في 23 يوليو 1972، أطلق صاروخ أول قمر صناعي بُني لدراسة سطح الأرض، وسُمّي لاحقًا لاندسات 1. وكان يدور حول الأرض 14 مرة في اليوم على ارتفاع $917\,\mathrm{km}$، من قطب إلى قطب، فيمر فوق المكان نفسه كل 18 يومًا، والتقط في ست سنوات صورًا لنحو ثلاثة أرباع سطح الأرض. ومنذ ذلك الحين لم تكف أقمار لاندسات عن تصوير اليابسة.

تعريف 32.9 (الاستشعار عن بعد وصورة القمر الصناعي)

الاستشعار عن بعد هو رصد الأرض من بعيد، من الطائرات أو الأقمار الصناعية، بقياس الضوء وغيره من الإشعاعات التي يردّها السطح. وصورة القمر الصناعي صورة لجزء من الأرض مبنية من هذه القياسات.

ترى آلة تصوير القمر الصناعي أكثر مما ترى أعيننا: فهي تقيس أيضًا الأشعة تحت الحمراء، وهي غير مرئية. وحين تُعرض بالألوان على الصورة (صورة بألوان زائفة)، تكشف الأشعة تحت الحمراء النباتات أو الأرض الرطبة أو الصخر العاري. وصور المكان نفسه الملتقطة بفارق سنوات تُظهر كيف يتغير ساحل أو غابة أو نهر جليدي أو بلدة (الفصل 27).

32.5 تحديد الموقع بالأقمار الصناعية

يستطيع هاتف أو سيارة أن يعرف موقعه بدقة بضعة أمتار، في أي مكان تقريبًا من الأرض. وهو لا يرى الأقمار الصناعية؛ بل يصغي إليها.

تعريف 32.10 (تحديد الموقع بالأقمار الصناعية)

تحديد الموقع بالأقمار الصناعية هو إيجاد موقع على الأرض انطلاقًا من المسافات إلى عدة أقمار صناعية مواقعها معروفة. ويحسب المستقبِل كل مسافة من الزمن الذي تستغرقه إشارة القمر الصناعي لتبلغه.

يحافظ النظام الأمريكي، GPS، على 24 قمرًا صناعيًا عاملًا على الأقل على ارتفاع نحو $20\,200\,\mathrm{km}$. ويدور كل منها حول الأرض مرتين في اليوم، في ستة مدارات موزعة حول الكوكب، بحيث تكون أربعة أقمار صناعية على الأقل في مجال الرؤية من أي نقطة تقريبًا على الأرض. والإشارة الآتية من بعد $20\,200\,\mathrm{km}$، المنتقلة بسرعة الضوء، تصل بعد $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s: فيقيس المستقبِل هذا الزمن ويحوّله إلى مسافة.

كيف تعطي المسافات موقعًا؟ تصوّر الفكرة على خريطة مستوية. إذا كان المستقبِل على بعد $5\,\mathrm{km}$ من المحطة A، فهو يقع في مكان ما على دائرة نصف قطرها $5\,\mathrm{km}$ حول A. وإذا كان أيضًا على بعد $10\,\mathrm{km}$ من B، فهو يقع على الدائرتين معًا: في إحدى النقطتين اللتين تتقاطعان فيهما. ومسافة ثالثة، $5\,\mathrm{km}$ من C، تختار النقطة الصحيحة. وفي الفضاء، تصير الدوائر كرات، ويلزم قمر صناعي إضافي للسبب نفسه.

32.6 تمارين

تمرين 32.1 ★

أعطِ الكلمة المناسبة لكل وصف. (أ) قاعدة ترسل كل نقطة من الكرة الأرضية إلى نقطة من خريطة مسطحة. (ب) خط يصل بين نقاط لها الارتفاع نفسه. (ج) نسبة مثل $1 : 50\,000$. (د) الفرق في الارتفاع بين خطي كنتور متجاورين. (ه) رصد الأرض من بعيد، من قمر صناعي مثلًا.

حل

حل التمرين 32.1.

(أ) الإسقاط الخرائطي. (ب) خط الكنتور. (ج) المقياس العددي. (د) الفاصل الكنتوري. (ه) الاستشعار عن بعد.

تمرين 32.2 ★

حوّل كل مسافة على الخريطة إلى مسافة على الأرض، بالأمتار أو الكيلومترات. (أ) $4\,\mathrm{cm}$ على خريطة بمقياس $1 : 25\,000$. (ب) $3\,\mathrm{cm}$ على خريطة بمقياس $1 : 50\,000$. (ج) $2.5\,\mathrm{cm}$ على خريطة بمقياس $1 : 1\,000\,000$. (د) على خريطة بمقياس $1 : 25\,000$، كم سنتيمترًا يمثل $1\,\mathrm{km}$؟

حل

حل التمرين 32.2.

(أ) $4 \times 25\,000 = 100\,000$ cm $= 1\,\mathrm{km}$. (ب) $3 \times 50\,000 = 150\,000$ cm $= 1.5\,\mathrm{km}$. (ج) $2.5 \times 1\,000\,000 = 2\,500\,000$ cm $= 25\,\mathrm{km}$. (د) $1\,\mathrm{km} = 100\,000$ cm؛ $100\,000 \div 25\,000 = 4\,\mathrm{cm}$.

تمرين 32.3 ★

صواب أم خطأ؟ صحّح الجمل الخاطئة. (أ) يمكن لخريطة العالم أن تُظهر الأرض كلها دون أن تشوّه أي شيء. (ب) في خريطة مركاتور، تبدو غرينلاند أكبر مما هي. (ج) في الخريطة المتساوية المساحة، تُحفظ الأشكال في كل مكان. (د) يبقى المقياس الخطي صحيحًا حين تُكبَّر الخريطة في آلة نسخ.

حل

حل التمرين 32.3.

(أ) خطأ: لا يمكن بسط الكرة دون تشويه الأطوال، فكل خريطة للعالم تشوّه شيئًا ما. (ب) صواب. (ج) خطأ: الخريطة المتساوية المساحة تحفظ المساحات، لكنها تثني الأشكال، ولا سيما قرب أطرافها. (د) صواب.

تمرين 32.4 ★

في الخريطة الطبوغرافية، (أ) ماذا يعني أن تكون خطوط الكنتور متقاربة جدًا؟ (ب) ومتباعدة؟ (ج) ماذا تُظهر خطوط الكنتور المغلقة التي يزداد ارتفاعها نحو الداخل؟ (د) لماذا لا يمكن أن يتقاطع خطا كنتور أبدًا؟

حل

حل التمرين 32.4.

(أ) الانحدار شديد. (ب) الأرض لطيفة الانحدار. (ج) تلة، قمتها داخل أصغر خط. (د) لنقطة من الأرض ارتفاع واحد فقط، فلا يمكن أن تقع على خطين بارتفاعين مختلفين.

تمرين 32.5 ★★

في خريطة مركاتور، تُكبَّر المساحات عند خط العرض $60{}^{\circ}$ أربع مرات، وعند خط العرض $30{}^{\circ}$ نحو 1.33 مرة، مقارنةً بخط الاستواء. (أ) رُسمت على الخريطة بحيرة مساحتها $1000\,\mathrm{km}^{2}$ عند $60{}^{\circ}$ شمالًا. فما المساحة الحقيقية لبحيرة عند خط الاستواء رُسمت بالحجم نفسه؟ (ب) جزيرتان لهما المساحة الحقيقية نفسها تقعان عند $30{}^{\circ}$ وعند $60{}^{\circ}$. كم مرة تبدو الثانية أكبر من الأولى؟ (ج) لماذا لا تستطيع خريطة مركاتور أبدًا أن تُظهر القطبين؟

حل

حل التمرين 32.5.

(أ) عند $60{}^{\circ}$ شمالًا تُرسم البحيرة أكبر بأربع مرات مما ينبغي: فتبدو بحجم $4 \times 1000 = 4000\,\mathrm{km}^{2}$. وعند خط الاستواء لا تُكبَّر المساحات، لذلك فالبحيرة المرسومة بالحجم نفسه مساحتها الحقيقية $4000\,\mathrm{km}^{2}$. (ب) $4 \div 1.33 \approx 3$: أي أكبر بثلاث مرات. (ج) المساحات، والمسافات من الشمال إلى الجنوب، تكبر بلا حد نحو القطبين: فيكون القطبان على بعد لا نهائي من خط الاستواء.

تمرين 32.6 ★★

استعمل الخريطة الطبوغرافية لتلال فاردن في هذا الفصل. (أ) ما الفاصل الكنتوري؟ (ب) ما ارتفاع القمة المعلَّمة بنقطة ارتفاعها، وما ارتفاع خط الكنتور الرئيسي المحيط بها مباشرة؟ (ج) يجري النهر شرقًا. هل قاع الوادي أعلى في غرب الخريطة أم في شرقها؟ (د) على طول C–D، شمال النهر، بين أي خطي كنتور تكون الخطوط أشد تقاربًا؟ وماذا يخبرك ذلك عن الانحدار هناك؟

حل

حل التمرين 32.6.

(أ) $50\,\mathrm{m}$. (ب) القمة على ارتفاع $544\,\mathrm{m}$؛ وخط الكنتور الرئيسي المحيط بها هو خط $500\,\mathrm{m}$. (ج) في الغرب: فالنهر يجري منحدرًا، لذلك يكون قاعه أخفض في اتجاه المصب، أي في الشرق. (د) بين خطي 300 و$400\,\mathrm{m}$ تقريبًا: فهناك يكون الانحدار أشد، وهو ألطف قرب قاع الوادي وقرب القمة.

تمرين 32.7 ★★

استعمل المقطع C–D في هذا الفصل. (أ) على أي ارتفاع تقريبًا تقع C وD؟ (ب) ما أخفض ارتفاع على طول المقطع، وكم يبعد عن C؟ (ج) ما طول قاع الوادي المستوي على طول C–D؟ (د) رُسم المقطع بمقياس رأسي ممطوط ثلاث مرات. لماذا يفعل راسمو الخرائط ذلك كثيرًا؟

حل

حل التمرين 32.7.

(أ) C على ارتفاع نحو $400\,\mathrm{m}$، وD على ارتفاع نحو $530\,\mathrm{m}$. (ب) نحو $135\,\mathrm{m}$، على بعد نحو $1.3\,\mathrm{km}$ من C، في قاع الوادي. (ج) نحو 0.3 إلى $0.4\,\mathrm{km}$. (د) الارتفاعات صغيرة مقارنةً بالمسافات: فدون المط، تبدو التلال شبه مستوية.

تمرين 32.8 ★★

على خريطة بمقياس $1 : 25\,000$، يعبر درب خط الكنتور $200\,\mathrm{m}$ ثم خط الكنتور $300\,\mathrm{m}$، بعد $2\,\mathrm{cm}$. (أ) ما المسافة الأفقية بين النقطتين على الأرض؟ (ب) بكم يصعد الدرب؟ (ج) ما الانحدار، نسبةً مئوية؟ (د) وبعد ذلك، يبعد خطا كنتور يفصل بينهما $100\,\mathrm{m}$ في الارتفاع $4\,\mathrm{cm}$ أحدهما عن الآخر على الخريطة. هل الدرب هناك أشد انحدارًا أم ألطف؟ وبكم؟

حل

حل التمرين 32.8.

(أ) $2 \times 25\,000 = 50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$. (ب) $300 - 200 = 100\,\mathrm{m}$. (ج) $100 \div 500 = 0.2$، أي انحدار نسبته $20\,\%$. (د) ألطف: إذ تساوي $4\,\mathrm{cm}$ مسافة $1000\,\mathrm{m}$، فالانحدار $100 \div 1000 = 10\,\%$، أي نصف الانحدار السابق.

تمرين 32.9 ★★

كان لاندسات 1 يدور حول الأرض 14 مرة في اليوم ويمر فوق المكان نفسه كل 18 يومًا. (أ) كم مدارًا أكمل بين مرورين فوق المكان نفسه؟ (ب) كان كل مدار يستغرق 103 دقائق. كم ساعة تستغرق 14 مدارًا؟ (ج) بُني ليعمل سنة واحدة، فأُطفئ في 6 يناير 1978، بعد خمس سنوات ونصف من إطلاقه. كم ضعفًا من عمره المقرر عمل؟ (د) اذكر تغيرًا واحدًا على سطح الأرض يمكن أن تُظهره صور المكان نفسه الملتقطة بفارق سنوات.

حل

حل التمرين 32.9.

(أ) $14 \times 18 = 252$ مدارًا. (ب) $14 \times 103 = 1442$ دقيقة، أي نحو $24\,\mathrm{h}$: يوم كامل. (ج) $5.5 \div 1 = 5.5$ مرة. (د) مثلًا: نهر جليدي يتراجع، أو غابة تُقطع، أو بلدة تكبر، أو ساحل أو نهر يتحرك.

تمرين 32.10 ★★

يبعد قمر صناعي من أقمار GPS نحو $20\,200\,\mathrm{km}$؛ وتنتقل إشارته بسرعة نحو $300\,000\,\mathrm{km}$ في الثانية. (أ) كم تستغرق الإشارة لتصل؟ اكتب الجواب بالترميز العلمي. (ب) لو كانت ساعة المستقبِل مخطئة بمقدار $1 \times 10^{-3}$ s، فما الخطأ في المسافة الناتج عن ذلك؟ (ج) ماذا يخبرك ذلك عن الساعات المستعملة في تحديد الموقع بالأقمار الصناعية؟

حل

حل التمرين 32.10.

(أ) $20\,200 \div 300\,000 \approx 0.067$ s $= 6.7 \times 10^{-2}$ s. (ب) $300\,000 \times 10^{-3} = 300\,\mathrm{km}$. (ج) خطأ ضئيل في الزمن يُحدث خطأ هائلًا في المسافة: فيجب أن تكون الساعات دقيقة للغاية.

تمرين 32.11 ★★★

على خريطة مستوية ذات شبكة بالكيلومترات، تقع المحطة A عند $(0, 0)$ والمحطة B عند $(10, 0)$. ويبعد مستقبِل $6\,\mathrm{km}$ عن A و$8\,\mathrm{km}$ عن B. (أ) بيّن أن النقطة $(3.6, 4.8)$ تبعد $6\,\mathrm{km}$ عن A و$8\,\mathrm{km}$ عن B. (ب) أعطِ نقطة أخرى على المسافتين نفسيهما من A وB. (ج) تقع محطة ثالثة C عند $(0, 10)$، ويبعد المستقبِل عنها نحو $6.3\,\mathrm{km}$. أي النقطتين هي المستقبِل؟ (د) لماذا يحتاج تحديد الموقع بالأقمار الصناعية إلى عدة أقمار؟

حل

حل التمرين 32.11.

(أ) المسافة إلى A: $\sqrt{3.6^2 + 4.8^2} = \sqrt{12.96 + 23.04} = \sqrt{36} = 6$؛ والمسافة إلى B: $\sqrt{6.4^2 + 4.8^2} = \sqrt{40.96 + 23.04} = \sqrt{64} = 8$. (ب) $(3.6, -4.8)$، وهي صورتها المرآتية بالنسبة إلى المستقيم AB. (ج) المسافة من C إلى $(3.6, 4.8)$: $\sqrt{3.6^2 + 5.2^2} = \sqrt{40} \approx 6.3$؛ وإلى $(3.6, -4.8)$: $\sqrt{3.6^2 + 14.8^2} = \sqrt{232} \approx 15.2$. فالمستقبِل عند $(3.6, 4.8)$. (د) مسافة واحدة تعطي دائرة (كرة في الفضاء)، ومسافتان تعطيان نقطتين ممكنتين؛ ويلزم مسافة أخرى للاختيار.

تمرين 32.12 ★★★

يغطي البر الإفريقي الرئيسي نحو 29 مليون $\mathrm{km}^{2}$ وغرينلاند نحو 2.1 مليون $\mathrm{km}^{2}$. (أ) كم مرة تكون إفريقيا أكبر؟ (ب) في خريطة مركاتور، تُكبَّر المساحات قرب وسط غرينلاند، عند نحو $72{}^{\circ}$ شمالًا، نحو 10.5 مرات. قدّر المساحة التي تبدو لغرينلاند. (ج) تمتد إفريقيا على جانبي خط الاستواء، حيث تُكبَّر المساحات قليلًا. قارن جوابك عن (ب) بمساحة إفريقيا، واشرح خريطة الجدار في بداية الفصل. (د) أي إسقاط تختار لتُظهر مساحات القارات بإنصاف؟

حل

حل التمرين 32.12.

(أ) $29 \div 2.1 \approx 14$ مرة. (ب) $2.1 \times 10.5 \approx 22$ مليون $\mathrm{km}^{2}$. (ج) تبدو غرينلاند كأنها تغطي نحو 22 مليون $\mathrm{km}^{2}$، وهذا قريب من 29 مليونًا لإفريقيا: ففي خريطة الجدار بإسقاط مركاتور، تبدو الاثنتان بالحجم نفسه تقريبًا، مع أن مساحة إفريقيا 14 ضعف مساحتها. (د) إسقاط متساوي المساحة.

32.7 مسألة: درب عبر تلال فاردن

مسألة 32.1

مسألة نهاية الأسبوع — رسم المخططون دربًا عبر تلال فاردن على الخريطة الطبوغرافية؛ والجواب الأخير هو طول الدرب بالكيلومترات ومجموع صعوده بالأمتار

يبدأ الدرب عند مزرعة S، وينزل إلى جسر B فوق النهر، ثم يصعد إلى ملجأ W ومنه إلى القمة T. وكل مرحلة مستقيمة، وهي إما تنزل فقط وإما تصعد فقط. والخريطة بمقياس $1 : 50\,000$؛ وارتفاعات S وB وW وT مكتوبة بجانبها.

الجزء الأول — المسار على الخريطة.

1. بمقياس $1 : 50\,000$، كم مترًا على الأرض يمثل $1\,\mathrm{cm}$ من الخريطة؟
2. على الخريطة الأصلية، تبلغ المرحلة S–B $3.6\,\mathrm{cm}$. فما طولها على الأرض، بالكيلومترات؟
3. تبلغ المرحلتان B–W وW–T $2.5\,\mathrm{cm}$ و$2.35\,\mathrm{cm}$. فما طولهما على الأرض؟
4. في أي اتجاه عام يمتد الدرب من B إلى T؟

الجزء الثاني — الصعود.

5. ما الفاصل الكنتوري للخريطة؟
6. أي مرحلة تنزل؟ وبكم مترًا؟
7. بكم مترًا يصعد الدرب في B–W، وفي W–T؟
8. ما متوسط انحدار المرحلة W–T، نسبةً مئوية؟
9. لماذا لم يرسم المخططون الدرب خطًا مستقيمًا من S إلى T؟

الجزء الثالث — النزهة.

10. افترض أن ماشيًا يقطع $4\,\mathrm{km}$ في الساعة على الأرض المستوية ويحتاج إلى دقيقة إضافية لكل $10\,\mathrm{m}$ من الصعود. كم تستغرق النزهة كلها؟
11. تسلك ماشية أخرى الدرب في الاتجاه المعاكس، من T إلى S. كم مترًا تصعد؟
12. ما الطول الكلي للدرب، بالكيلومترات، ومجموع صعوده، بالأمتار؟

حل

حل المسألة 32.1.

1. $50\,000$ cm $= 500\,\mathrm{m}$.

2. $3.6 \times 500 = 1800\,\mathrm{m} = 1.8\,\mathrm{km}$.

3. B–W: $2.5 \times 500 = 1250\,\mathrm{m}$؛ W–T: $2.35 \times 500 \approx 1180\,\mathrm{m}$.

4. نحو الشمال الشرقي.

5. $50\,\mathrm{m}$.

6. المرحلة S–B تنزل: $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

7. B–W: $335 - 143 = 192\,\mathrm{m}$؛ W–T: $544 - 335 = 209\,\mathrm{m}$.

8. $209 \div 1180 \approx 0.18$، أي نحو $18\,\%$.

9. الخط المستقيم من S إلى T يعبر النهر حيث لا جسر؛ فالدرب ينزل إلى الجسر عند B.

10. $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx 4.2\,\mathrm{km}$ بسرعة $4\,\mathrm{km}$ في الساعة: نحو 63 دقيقة؛ والصعود $192 + 209 = 401\,\mathrm{m}$: نحو 40 دقيقة إضافية. والمجموع نحو ساعة و43 دقيقة.

11. من T تنزل إلى B، ثم تصعد من B إلى S: $296 - 143 = 153\,\mathrm{m}$.

12. الطول: $1.8 + 1.25 + 1.18 \approx \textbf{4.2 km}$؛ ومجموع الصعود: $192 + 209 = \textbf{401 m}$.