ما معنى المجموعة المغلقة؟

مثال 12.7 (الاختبار التتالي في الاتجاهين)

مغلقة: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. لتكن $u_k \in F$ مع $u_k \to \ell$. النافذة $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ لا تحتوي إلا عددًا منتهيًا من نقاط $F$ (عددًا منتهيًا من الأعداد الصحيحة، وعددًا منتهيًا من المقادير $n + \frac1n$)، وبعد رتبة ما تقع كل $u_k$ فيها: فتأخذ المتتالية عندئذ عددًا منتهيًا من القيم، ولكونها متقاربة تصير ثابتة في النهاية (كما في التمرين 12.3): ومنه $\ell \in F$. فهي مغلقة — وإن كانت $F$ تحتوي أزواج نقاط على بعد $\frac1n$، أي قريبة كما نشاء.

ليست مغلقة: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. المتتالية $\frac1n + \frac1n \in G$ تؤول إلى $0$، و $0 \notin G$ (لأنه مجموع حدين موجبين): فيفشل الاختبار التتالي، ومنه فالمجموعة $G$ ليست مغلقة. ومن الطريف أن كل $\frac1m$ ينتمي فعلًا إلى $\overline G \cap G$: إذ $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. والفكرة النافذة: للبرهان على الانغلاق، اضبط كل المتتاليات المتقاربة دفعة واحدة (عادةً عبر تناهٍ موضعي أو حجة صيغة مغلقة)؛ ولنقضه تكفي متتالية هاربة واحدة مُحسَنة الاختيار — فعدم التناظر يجعل الاتجاه السالب هو السهل، ولكل الأمثلة المضادة في هذا الفصل هذا الشكل ذو السطر الواحد.

مثال 12.8

القطع $\intcc{a}{b}$، وأنصاف المستقيمات $\intco{a}{+\infty}$، والمجموعات المنتهية، و $\Z$ (لأن متتالية متقاربة من الأعداد الصحيحة ثابتة في النهاية) كلها مغلقة. وأمّا $\intoc{0}{1}$ فليست مفتوحة (إذ تفشل عند $1$) ولا مغلقة ($\frac 1n \to 0 \notin$ المجموعة): فأكثر المجموعات ليست هذه ولا تلك. و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان ومغلقتان معًا — وهما المجموعتان الجزئيتان الوحيدتان من $\R$ كذلك (التمرين 12.9).

مثال 12.9 (مجموعة مفتوحة مركّبة من قطع لا تُحصى)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: أي اتحاد غير منته لفترات مفتوحة، وهو مفتوح حسب القضية 12.3 — ومنه فالمجموعة $\Z$ مغلقة دون أيّ حاجة إلى حجة تتالية. ولاحظ تقسيم العمل في قواعد الاستقرار: قد تكون اتحادات المجموعات المفتوحة كيفية (فكل نقطة لا تحتاج إلا إلى شهادتها الخاصة، تعطيها المجموعة الوحيدة التي تحتويها)، بينما يجب أن تبقى التقاطعات منتهية (إذ يجب تقاطع الشهادات، وقد تتقلص أنصاف أقطار لا تُحصى إلى العدم). وسوف يبيّن التمرين 12.10 أن هذا المثال هو الشكل العام: فكل مجموعة جزئية مفتوحة من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ ومنفصل لفترات مفتوحة.