¿Qué es Conjunto cerrado?

Ejemplo 12.7 (El test secuencial, en los dos sentidos)

Cerrado: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Sea $u_k \in F$ con $u_k \to \ell$. La ventana $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contiene solo finitos puntos de $F$ (finitos enteros, finitos $n + \frac1n$) y, más allá de cierto rango, todos los $u_k$ están en ella: la sucesión toma entonces finitos valores y, siendo convergente, acaba siendo constante (como en el Ejercicio 12.3): $\ell \in F$. Cerrado — aunque $F$ contenga pares de puntos a distancia $\frac1n$, arbitrariamente próximos.

No cerrado: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. La sucesión $\frac1n + \frac1n \in G$ tiende a $0$, y $0 \notin G$ (suma de dos términos positivos): el test secuencial falla, $G$ no es cerrado. Curiosamente, cada $\frac1m$ sí pertenece a $\overline G \cap G$: en efecto, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. La idea de cierre: para demostrar que un conjunto es cerrado hay que controlar todas las sucesiones convergentes a la vez (normalmente con un argumento de finitud local o de fórmula cerrada); para refutarlo basta una sucesión bien elegida que se escape — la asimetría hace fácil la dirección negativa, y todos los contraejemplos de este capítulo tienen esa forma de una línea.

Ejemplo 12.8

Los segmentos $\intcc{a}{b}$, las semirrectas $\intco{a}{+\infty}$, los conjuntos finitos y $\Z$ (una sucesión convergente de enteros acaba siendo constante) son cerrados. $\intoc{0}{1}$ no es abierto (falla en $1$) ni cerrado ($\frac 1n \to 0 \notin$ el conjunto): la mayoría de los conjuntos no son ni una cosa ni la otra. $\R$ y $\emptyset$ son a la vez abiertos y cerrados — y son los únicos subconjuntos de $\R$ así (Ejercicio 12.9).

Ejemplo 12.9 (Un abierto ensamblado con infinitas piezas)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: una unión infinita de intervalos abiertos, abierta por la Proposición 12.3 — de modo que $\Z$ es cerrado sin necesidad de ningún argumento secuencial. Obsérvese el reparto de tareas en las reglas de estabilidad: las uniones de abiertos pueden ser arbitrarias (cada punto solo necesita su propio certificado, suministrado por el conjunto que lo contiene), mientras que las intersecciones deben ser finitas (hay que intersecar los certificados, e infinitos radios pueden encogerse hasta nada). Ejercicio 12.10 mostrará que este ejemplo es la forma general: todo abierto de $\R$ es una unión numerable y disjunta de intervalos abiertos.