12طوبولوجيا المستقيم الحقيقي

مثال 12.2

الفترات المفتوحة مفتوحة: فمن أجل $x \in \intoo{a}{b}$، خذ $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. وأنصاف المستقيمات $\intoo{a}{+\infty}$ مفتوحة؛ و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان (والثانية بالمجّان). وأمّا $\intcc{0}{1}$ فهي ليست مفتوحة: إذ لا فترة حول $0$ تبقى بالداخل.

مثال 12.4 (المصادقة على الانفتاح بأنصاف أقطار صريحة)

هل $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ مفتوحة؟ نعم، ويمكن كتابة الشهادة: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$، وهي اتحاد نصفَي مستقيم مفتوحين، مفتوحة حسب القضية 12.3. وبدلًا من ذلك، حاجج نقطةً نقطة: فمن أجل $x \in U$ مع $x > \sqrt 2$، خذ $r = x - \sqrt2 > 0$: فكل $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ يحقق $y > \sqrt 2$، ومنه $y^2 > 2$؛ وبالتناظر على اليسار. والأسلوبان كلاهما مهمّ — فالبنيوي (ابنِ من مجموعات مفتوحة معلومة باتحادات وتقاطعات منتهية) أقدر على التوسّع، والأسلوب بالمقدار $\varepsilon$ ينفع حين لا تُرى أيّ بنية؛ و سوف يضيف الفصل 13 ثالثًا، هو الأقوى: فالمجموعة $U$ هي الصورة العكسية للمجموعة المفتوحة $\intoo{2}{+\infty}$ بالتطبيق المتصل $x \mapsto x^2$.

مثال 12.7 (الاختبار التتالي في الاتجاهين)

مغلقة: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. لتكن $u_k \in F$ مع $u_k \to \ell$. النافذة $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ لا تحتوي إلا عددًا منتهيًا من نقاط $F$ (عددًا منتهيًا من الأعداد الصحيحة، وعددًا منتهيًا من المقادير $n + \frac1n$)، وبعد رتبة ما تقع كل $u_k$ فيها: فتأخذ المتتالية عندئذ عددًا منتهيًا من القيم، ولكونها متقاربة تصير ثابتة في النهاية (كما في التمرين 12.3): ومنه $\ell \in F$. فهي مغلقة — وإن كانت $F$ تحتوي أزواج نقاط على بعد $\frac1n$، أي قريبة كما نشاء.

ليست مغلقة: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. المتتالية $\frac1n + \frac1n \in G$ تؤول إلى $0$، و $0 \notin G$ (لأنه مجموع حدين موجبين): فيفشل الاختبار التتالي، ومنه فالمجموعة $G$ ليست مغلقة. ومن الطريف أن كل $\frac1m$ ينتمي فعلًا إلى $\overline G \cap G$: إذ $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. والفكرة النافذة: للبرهان على الانغلاق، اضبط كل المتتاليات المتقاربة دفعة واحدة (عادةً عبر تناهٍ موضعي أو حجة صيغة مغلقة)؛ ولنقضه تكفي متتالية هاربة واحدة مُحسَنة الاختيار — فعدم التناظر يجعل الاتجاه السالب هو السهل، ولكل الأمثلة المضادة في هذا الفصل هذا الشكل ذو السطر الواحد.

مثال 12.8

القطع $\intcc{a}{b}$، وأنصاف المستقيمات $\intco{a}{+\infty}$، والمجموعات المنتهية، و $\Z$ (لأن متتالية متقاربة من الأعداد الصحيحة ثابتة في النهاية) كلها مغلقة. وأمّا $\intoc{0}{1}$ فليست مفتوحة (إذ تفشل عند $1$) ولا مغلقة ($\frac 1n \to 0 \notin$ المجموعة): فأكثر المجموعات ليست هذه ولا تلك. و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان ومغلقتان معًا — وهما المجموعتان الجزئيتان الوحيدتان من $\R$ كذلك (التمرين 12.9).

مثال 12.9 (مجموعة مفتوحة مركّبة من قطع لا تُحصى)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: أي اتحاد غير منته لفترات مفتوحة، وهو مفتوح حسب القضية 12.3 — ومنه فالمجموعة $\Z$ مغلقة دون أيّ حاجة إلى حجة تتالية. ولاحظ تقسيم العمل في قواعد الاستقرار: قد تكون اتحادات المجموعات المفتوحة كيفية (فكل نقطة لا تحتاج إلا إلى شهادتها الخاصة، تعطيها المجموعة الوحيدة التي تحتويها)، بينما يجب أن تبقى التقاطعات منتهية (إذ يجب تقاطع الشهادات، وقد تتقلص أنصاف أقطار لا تُحصى إلى العدم). وسوف يبيّن التمرين 12.10 أن هذا المثال هو الشكل العام: فكل مجموعة جزئية مفتوحة من $\R$ اتحادٌ قابل للعدّ ومنفصل لفترات مفتوحة.

مثال 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$؛ $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$؛ $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. ومن أجل $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$ و $\mathring A = \emptyset$ و $\partial A = A \cup \{0\}$. ومن أجل $\Q$: بالكثافة (المبرهنة 10.14) يكون كل عدد حقيقي ملاصقًا للمجموعة $\Q$، ومنه $\overline{\Q} = \R$ بينما $\mathring{\Q} = \emptyset$ (لأن كل فترة تحتوي أعدادًا صماء): ومنه فحافة $\Q$ هي $\R$ كلها.

مثال 12.13 (تشريح كامل)

لتكن $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. نحسب المجموعات الثلاث في التعريف 12.10، قطعةً قطعة.

الداخل. لكل نقطة من $\intoo{0}{1}$ فترة كاملة داخل $A$: فهي داخلية. وأمّا النقطة $1$: فكل فترة حولها تتسرّب يمين $1$، حيث لا شيء في $A$ حتى $2$: فهي ليست داخلية. ولا نقطة من $\Q \cap \intoo{2}{3}$ داخلية (لأن كل فترة تحتوي أعدادًا صماء، المبرهنة 10.14)؛ وكذلك النقطة المعزولة $4$. ومنه $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

الغلق. نهايات نقاط $A$: كل $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ مع $\frac 1n \in A$)؛ وكل $\intcc{2}{3}$ (لأن كل عدد حقيقي هناك نهاية أعداد ناطقة من الفترة، بالكثافة مرة أخرى)؛ والنقطة $4$. ولا شيء آخر: فلأيّ نقطة خارج $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ مسافة موجبة إلى تلك المجموعة المغلقة. ومنه $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

الحافة. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

والفكرة النافذة: تعمل العمليات الثلاث موضعيًا — فكل قطعة من $A$ تسهم حسب طبيعتها هي (فالفترة الصلبة تحتفظ بداخلها، والقطعة الكثيفة المسامية تتحول كلها إلى حافة، والنقطة المعزولة حافة محضة)، ورسمٌ من سطرين للمجموعة $A$ يتنبّأ بكل جواب قبل كتابة أيّ برهان.

مثال 12.15 (غلق محسوب بالضبط)

لتكن $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (من المثال 12.7). الادعاء:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ و $0 = \lim_n \frac2n$: فهي ملاصقة حسب التمييز التتالي. ($\subseteq$) ليكن $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$؛ رتّب كل زوج بحيث يكون $m_k \leq n_k$. فإذا كانت $(m_k)$ غير محدودة، فلمتتالية جزئية $m_k \to \infty$، ومنه $n_k \to \infty$ كذلك و $x = 0$. وإلا فإن $(m_k)$ تأخذ عددًا منتهيًا من القيم، إحداها، ولنقل $m$، عددًا لا يُحصى من المرات؛ وعلى تلك المتتالية الجزئية $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: فإذا كانت $(n_k)$ محدودة أخذت قيمة $n$ ما عددًا لا يُحصى من المرات وكان $x = \frac1m + \frac1n \in G$؛ وإلا فإن $x = \frac1m$. فكل حالة تحطّ في المجموعة المعلنة. والفكرة النافذة: حساب غلق تحليلُ حالات على الأدلة بأسلوب التراص — فالدليل المحدود يعني عددًا منتهيًا من القيم (مبدأ الأدراج)، والدليل غير المحدود يعني نهايةً تفلت — ويعرض الجوابُ البنيةَ النموذجية ذات الطبقتين لنقاط التراكم: المجموعة، ونهاياتها من الجيل الأول، ونهايتها $0$.

مثال 12.17 (الكثافة نسبية)

تعني «كثيفة» بالمعنى المعرَّف هنا كثيفةً في $\R$؛ وقد تكون مجموعة بدل ذلك كثيفة في جزء من المستقيم فقط. فالأعداد الثنائية في $\intcc{0}{1}$، أي $D \cap \intcc{0}{1}$ (التمرين 10.8)، تقاطع كل فترة مفتوحة محتواة في $\intcc{0}{1}$ لكنها بالطبع تفوّت $\intoo{2}{3}$ كليًا: فهي كثيفة في $\intcc{0}{1}$، بمعنى $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. والعبارة العامة «$A$ كثيفة في $B$» اختصارٌ للمقدار $B \subseteq \overline A$ — وسمِّ دائمًا المجموعة المحيطة، لأن طرفَي مسألة نهاية الأسبوع كثيفان في مجموعة كانتور بينما ليسا كثيفين في أيّ موضع في $\R$: فهي المجموعة نفسها، ووصفان صادقان يبدوان متعاكسين.

مثال 12.18 (التعامل مع الكثافة)

ثلاث حركات سريعة تتكرر باستمرار. التكبير: إذا كانت $A$ كثيفة و $A \subseteq B$، فإن $B$ كثيفة (لأن كل فترة تقاطع $A$ أصلًا). النقل: إذا كانت $A$ كثيفة، فكذلك $\lambda A + \mu$ من أجل $\lambda \neq 0$ — فالفترة $I$ تقاطع $\lambda A + \mu$ إذا وفقط إذا قاطعت الفترة $\frac{I - \mu}{\lambda}$ المجموعةَ $A$؛ ومنه فمضاعفات $10^{-9}$ الفردية، مثلًا، كثيفة. والتقاطع يفشل: فقد تفوّت مجموعتان كثيفتان إحداهما الأخرى كليًا ($\Q$ و $\R \setminus \Q$): فالكثافة تصمد أمام الاتحادات والتطبيقات الأفينية، لا أمام التقاطعات أبدًا.

مثال 12.20 (مجموعات متراصة متداخلة)

تمرين أول على المبرهنة. لتكن $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ مجموعات جزئية غير خالية متراصة (مغلقة ومحدودة) من $\R$. عندئذ $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$. فعلًا، اختر $x_n \in K_n$ من أجل كل $n$: فتعيش المتتالية في المتراصة $K_0$، ومنه تتقارب متتالية جزئية $x_{\varphi(n)}$ إلى $x$ ما (المبرهنة 12.19). ومن أجل كل $m$ مثبَّت، تقع كل الحدود $x_{\varphi(n)}$ ذات $\varphi(n) \geq m$ في المجموعة المغلقة $K_m$، ومنه تقع النهاية $x$ في $K_m$ (المبرهنة 12.6)؛ ولأن $m$ كان كيفيًا، $x \in \bigcap_n K_n$. ورفيقٌ نافع: إذا احتوت مجموعة مفتوحة $U$ المجموعةَ $\bigcap_n K_n$، فإن $U \supseteq K_n$ من أجل $n$ ما — طبّق الحجة نفسها على نقاط $x_n \in K_n \setminus U$؛ فستقع النهاية $x$ في $\bigcap K_n \subseteq U$، ومع ذلك يفرض انفتاح $U$ أن $x_{\varphi(n)} \in U$ في النهاية، وهذا تناقض. والعبارتان كلتاهما تفشلان دون التراص: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ و $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$. والفكرة النافذة: يحوّل التراص سلسلةً غير منتهية من تأكيدات عدم الخلوّ إلى نقطة نهاية واحدة — فهو الأداة التي تنجو من الانتقال إلى التقاطع غير المنتهي، وسوف تتّكئ عليه مسألة نهاية الأسبوع (المسألة 12.1) مرتين.

مثال 12.22 (الحواف تحت الاتحادات)

دائمًا $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$: فلكل نقطة من $\partial(A \cup B)$ كل جوار يقاطع $A \cup B$ (ومنه $A$ أو $B$، وإحداهما عددًا لا يُحصى من المرات) ويقاطع متممة $A \cup B$، وهي تقع في المتممتين معًا — ثم يضع تحقّق قصير النقطةَ في $\partial A$ أو $\partial B$. وقد يكون الاحتواء قطعيًا بصورة مذهلة: فمع $A = \Q$ و $B = \R\setminus\Q$،

فيمكن لمجموعتين ممزّقتين أن تلتصقا في مجموعة بلا خياطة، وحافتاهما تفني إحداهما الأخرى. والفكرة النافذة: يسلك الداخل و الغلق سلوكًا رتيبًا تحت الاتحادات و التقاطعات، وأمّا الحواف فلا — فعامل $\partial$ معاملة مقدار مشتقّ ($\overline A \setminus \mathring A$)، لا معاملة مؤثر له جبرُه الخاص.