Wat is Gesloten verzameling?

Voorbeeld 12.7 (De toets met rijen, beide kanten op)

Gesloten: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Zij $u_k \in F$ met $u_k \to \ell$. Het venster $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ bevat maar eindig veel punten van $F$ (eindig veel gehele getallen, eindig veel $n + \frac1n$), en voorbij een zekere rang liggen alle $u_k$ erin: de rij neemt dan eindig veel waarden aan en is, convergerend, uiteindelijk constant (als in Oefening 12.3): $\ell \in F$. Gesloten — ook al bevat $F$ paren punten op willekeurig kleine afstand $\frac1n$.

Niet gesloten: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. De rij $\frac1n + \frac1n \in G$ gaat naar $0$, en $0 \notin G$ (een som van twee positieve termen): de toets met rijen faalt, $G$ is niet gesloten. Interessant genoeg behoort elke $\frac1m$ wel tot $\overline G \cap G$: immers $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. Het inzicht tot slot: om geslotenheid te bewijzen moet je alle convergente rijen tegelijk beheersen (meestal via een argument van lokale eindigheid of een gesloten formule); om haar te weerleggen volstaat één goedgekozen ontsnappende rij — die asymmetrie maakt de negatieve richting de makkelijke, en alle tegenvoorbeelden van dit hoofdstuk hebben die vorm van één regel.

Voorbeeld 12.8

Segmenten $\intcc{a}{b}$, halfrechten $\intco{a}{+\infty}$, eindige verzamelingen en $\Z$ (een convergente rij gehele getallen is uiteindelijk constant) zijn gesloten. $\intoc{0}{1}$ is open noch gesloten (open faalt in $1$; gesloten faalt want $\frac 1n \to 0 \notin$ de verzameling): de meeste verzamelingen zijn geen van beide. $\R$ en $\emptyset$ zijn zowel open als gesloten — en het zijn de enige zulke deelverzamelingen van $\R$ (Oefening 12.9).

Voorbeeld 12.9 (Een open verzameling uit oneindig veel stukken)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: een oneindige vereniging van open intervallen, open volgens Propositie 12.3 — zodat $\Z$ gesloten is zonder enig argument met rijen. Let op de taakverdeling in de stabiliteitsregels: verenigingen van open verzamelingen mogen willekeurig zijn (elk punt heeft alleen zijn eigen bewijsstuk nodig, geleverd door de ene verzameling die het bevat), terwijl doorsneden eindig moeten blijven (de bewijsstukken moeten doorsneden worden, en oneindig veel stralen kunnen tot niets krimpen). Oefening 12.10 zal laten zien dat dit voorbeeld de algemene vorm is: elke open deelverzameling van $\R$ is een aftelbare disjuncte vereniging van open intervallen.