O que é Conjunto fechado?

Exemplo 12.7 (O teste sequencial, nos dois sentidos)

Fechado: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Seja $u_k \in F$ com $u_k \to \ell$. A janela $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contém apenas finitos pontos de $F$ (finitos inteiros, finitos $n + \frac1n$), e, a partir de certo posto, todos os $u_k$ estão nela: a sequência assume então finitos valores e, convergindo, é constante a partir de certo ponto (como no Exercício 12.3): $\ell \in F$. Fechado — embora $F$ contenha pares de pontos a distância $\frac1n$, arbitrariamente próximos.

Não fechado: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. A sequência $\frac1n + \frac1n \in G$ tende a $0$, e $0 \notin G$ (soma de dois termos positivos): o teste sequencial falha, e $G$ não é fechado. Curiosamente, cada $\frac1m$ pertence a $\overline G \cap G$: com efeito, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. A ideia de fechamento: para demonstrar que um conjunto é fechado, controle todas as sequências convergentes de uma vez (em geral por finitude local ou por um argumento de fórmula fechada); para refutá-lo, basta uma sequência de fuga bem escolhida — a assimetria torna a direção negativa a fácil, e os contraexemplos deste capítulo têm todos essa forma de uma linha.

Exemplo 12.8

Os segmentos $\intcc{a}{b}$, as semirretas $\intco{a}{+\infty}$, os conjuntos finitos e $\Z$ (uma sequência convergente de inteiros é constante a partir de certo ponto) são fechados. $\intoc{0}{1}$ não é aberto (falha em $1$) nem fechado ($\frac 1n \to 0 \notin$ do conjunto): a maioria dos conjuntos não é nem uma coisa nem outra. $\R$ e $\emptyset$ são ao mesmo tempo abertos e fechados — e são os únicos subconjuntos de $\R$ assim (Exercício 12.9).

Exemplo 12.9 (Um aberto montado a partir de infinitas peças)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: uma união infinita de intervalos abertos, aberta pela Proposição 12.3 — de modo que $\Z$ é fechado sem necessidade de argumento sequencial algum. Note a divisão de trabalho nas regras de estabilidade: as uniões de abertos podem ser arbitrárias (cada ponto só precisa do seu próprio certificado, fornecido pelo único conjunto que o contém), ao passo que as interseções devem permanecer finitas (os certificados têm de ser interceptados, e infinitos raios podem encolher a nada). O Exercício 12.10 mostrará que este exemplo é a forma geral: todo subconjunto aberto de $\R$ é uma união enumerável e disjunta de intervalos abertos.