Qu'est-ce que « Fermé » ?

Exemple 12.7 (Le test séquentiel, dans les deux sens)

Fermé : $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$. Soit $u_k \in F$ avec $u_k \to \ell$. La fenêtre $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ ne contient qu’un nombre fini de points de $F$ (un nombre fini d’entiers, un nombre fini de $n + \frac1n$), et à partir d’un certain rang tous les $u_k$ y sont : la suite ne prend alors qu’un nombre fini de valeurs et, convergeant, est stationnaire (comme dans l’Exercice 12.3) : $\ell \in F$. Fermé — bien que $F$ contienne des couples de points à distance $\frac1n$, arbitrairement proches.

Non fermé : $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$. La suite $\frac1n + \frac1n \in G$ tend vers $0$, et $0 \notin G$ (somme de deux termes strictement positifs) : le test séquentiel échoue, $G$ n’est pas fermé. Fait remarquable, chaque $\frac1m$ appartient bel et bien à $\overline G \cap G$ : en effet $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$. L’idée à retenir : pour démontrer qu’un ensemble est fermé, il faut contrôler toutes les suites convergentes d’un coup (en général par un argument de finitude locale ou de formule fermée) ; pour le réfuter, une seule suite fuyante bien choisie suffit — cette asymétrie fait du sens négatif le plus facile, et les contre-exemples de ce chapitre ont tous cette forme en une ligne.

Exemple 12.8

Les segments $\intcc{a}{b}$, les demi-droites $\intco{a}{+\infty}$, les ensembles finis, $\Z$ (une suite convergente d’entiers est stationnaire) sont fermés. $\intoc{0}{1}$ n’est ni ouvert (cela échoue en $1$) ni fermé ($\frac 1n \to 0 \notin$ l’ensemble) : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre. $\R$ et $\emptyset$ sont à la fois ouverts et fermés — et ce sont les seules parties de $\R$ dans ce cas (Exercice 12.9).

Exemple 12.9 (Un ouvert assemblé à partir d’une infinité de morceaux)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : une réunion infinie d’intervalles ouverts, ouverte d’après la Proposition 12.3 — donc $\Z$ est fermé sans le moindre argument séquentiel. Notons le partage des tâches dans les règles de stabilité : les réunions d’ouverts peuvent être quelconques (chaque point n’a besoin que de son propre certificat, fourni par l’unique ensemble qui le contient), tandis que les intersections doivent rester finies (les certificats doivent être intersectés, et une infinité de rayons peuvent se contracter jusqu’à rien). Exercice 12.10 montrera que cet exemple est la forme générale : tout ouvert de $\R$ est une réunion dénombrable disjointe d’intervalles ouverts.